חקירת פונקציות · הזזות ושורש

שלב 1: סעיף א' (1) - תחום הגדרה

בפונקציה יש לנו שורש זוגי. הדרישה היא שהביטוי בתוך השורש יהיה חיובי או שווה לאפס: 7 - x \ge 0 נעביר את \( x \) לאגף ימין: 7 \ge x \quad \Rightarrow \quad x \le 7 תחום ההגדרה: \( x \le 7 \).

שלב 2: סעיף א' (2) - נקודות חיתוך עם ציר ה-x

למציאת חיתוך עם ציר ה-x, נציב \( y = 0 \): 0 = x^2 \cdot \sqrt{7 - x} מכפלה מתאפסת כאשר אחד מהגורמים מתאפס. נבדוק את שתי האפשרויות: \( x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \) \( \sqrt{7 - x} = 0 \quad \Rightarrow \quad 7 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 7 \) שני הפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה. נקודות החיתוך עם ציר ה-x הן: \( (0, 0) \) ו- \( (7, 0) \).

שלב 3: סעיף א' (3) - נקודות קיצון וסוגן

נגזור את הפונקציה \( f(x) = x^2 \cdot \sqrt{7 - x} \) בעזרת כלל המכפלה: \( u = x^2 \quad \Rightarrow \quad u' = 2x \) \( v = \sqrt{7 - x} \quad \Rightarrow \quad v' = \frac{-1}{2\sqrt{7 - x}} \) (שימו לב לנגזרת הפנימית מינוס 1) f'(x) = 2x \cdot \sqrt{7 - x} + x^2 \cdot \left(\frac{-1}{2\sqrt{7 - x}}\right) = 2x\sqrt{7 - x} - \frac{x^2}{2\sqrt{7 - x}} נשווה לאפס. מומלץ להעביר את השבר לאגף ימין כדי שיהיה חיובי, ואז לכפול במכנה המשותף: 2x\sqrt{7 - x} = \frac{x^2}{2\sqrt{7 - x}} נכפול ב-\( 2\sqrt{7 - x} \) (מותר לנו כי בתחום זהו ביטוי חיובי עבור x < 7): 2x \cdot 2 \cdot (\sqrt{7 - x})^2 = x^2 4x(7 - x) = x^2 28x - 4x^2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad 28x - 5x^2 = 0 נוציא גורם משותף x: x(28 - 5x) = 0 נקבל שני פתרונות אפשריים לאיפוס הנגזרת: \( x_1 = 0 \) \( 28 - 5x = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x = 28 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 5.6 \) בנוסף, יש לנו את קצה תחום ההגדרה \( x = 7 \) שגם הוא מהווה נקודת קיצון. נמצא את ערכי ה-y של הנקודות על ידי הצבה בפונקציה המקורית: \( f(0) = 0^2 \cdot \sqrt{7-0} = 0 \) \( f(5.6) = 5.6^2 \cdot \sqrt{7-5.6} = 31.36 \cdot \sqrt{1.4} \approx 37.11 \) \( f(7) = 7^2 \cdot \sqrt{7-7} = 0 \) נסדר טבלת תחומי עלייה וירידה (נבחר נציגים: x=-1, x=1, x=6). הנגזרת שלילית לפני 0, חיובית בין 0 ל-5.6, ושלילית לאחר מכן. נקודות הקיצון הן: \( (5.6, \approx 37.11) \) - נקודת מקסימום פנימית. \( (0, 0) \) - נקודת מינימום פנימית. \( (7, 0) \) - נקודת מינימום קצה.

מושגים: נגזרת מכפלה המשלבת שורש, נקודות קצה ופנים

שלב 4: סעיף ב' - סרטוט סקיצה

נסכם את התנהגות הפונקציה: מגיעה מערכים גבוהים משמאל (כאשר x קטן, \(x^2\) חיובי וגדול מאוד), יורדת עד למינימום בראשית הצירים (0,0), עולה לשיא המקסימום ב-x=5.6, ויורדת לנקודת הסיום שלה בקצה התחום (7,0).

שלב 5: סעיף ג' (1) - מציאת הפרמטר a

הפונקציה \( g(x) \) מוגדרת כך: \( g(x) = f(x + a) \). פעולה זו של הוספת קבוע ל-x בתוך הפונקציה משמעותה הזזה אופקית של הפונקציה המקורית שמאלה או ימינה. בהזזה אופקית, ערכי ה-y של נקודות הקיצון נשמרים, ורק שיעור ה-x שלהן זז בשיעור קבוע. בפונקציה המקורית \( f(x) \) מצאנו נקודת מקסימום פנימית ב- \( x = 5.6 \). לפונקציה \( g(x) \) נתון שיש מקסימום פנימי ב- \( x = 8.6 \). נציב בביטוי של הטרנספורמציה: x_{\text{new}} + a = x_{\text{old}} 8.6 + a = 5.6 \quad \Rightarrow \quad a = 5.6 - 8.6 \quad \Rightarrow \quad a = -3 הסבר מילולי: כדי להזיז את המקסימום מ-5.6 ל-8.6, הזזנו את הגרף כולו 3 יחידות ימינה. הזזה של 3 יחידות ימינה מתבטאת בביטוי \( f(x - 3) \), ולכן \( a = -3 \). הערך של \( a \) הוא: \( a = -3 \).

מושגים: הזזות של פונקציות

שלב 6: סעיף ג' (2) - תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)

מכיוון שהפונקציה \( g(x) \) היא בעצם הפונקציה \( f(x) \) מוזזת 3 יחידות ימינה, גם תחום ההגדרה שלה זז 3 יחידות ימינה. תחום ההגדרה המקורי היה \( x \le 7 \). נוסיף 3: x \le 7 + 3 \quad \Rightarrow \quad x \le 10 אפשר גם להוכיח זאת אלגברית על ידי הצבה של \( x-3 \) בתוך השורש של הפונקציה המקורית: 7 - (x - 3) \ge 0 7 - x + 3 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 10 - x \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \le 10 תחום ההגדרה של \( g(x) \) הוא: \( x \le 10 \).

שלב 7: תשובות סופיות

א. (1) \( x \le 7 \) א. (2) \( (0, 0) \) , \( (7, 0) \) א. (3) מקסימום פנימי: \( (5.6, \approx 37.1) \) מינימום פנימי: \( (0, 0) \) מינימום קצה: \( (7, 0) \) ב. סקיצה קיימת בשלב 4. ג. (1) \( a = -3 \) ג. (2) \( x \le 10 \)