בסרטוט נתון גרף הפונקציה \( f(x) \). על הגרף מצוינות נקודות הקצה: \( (-4, -4) \) ו- \( (4, 4) \), נקודת החיתוך עם ציר ה-\( x \) בנקודה \( (-3, 0) \), נקודת החיתוך עם ציר ה-\( y \) ב-\( (0, 4) \), ונקודת המקסימום המוחלט ב-\( (3, 6) \). המשימה: כמה פתרונות יש למשוואה \( \frac{1}{f(x)} = f(x) \) בתחום ההגדרה של הפונקציה?
תלמיד רגיל יראה משוואה כזו, ינסה להציב במקום \( f(x) \) את הביטוי המפלצתי של הפונקציה (עם השורשים והחזקות), ויסתבך בתוך אלגברה שלא נגמרת. זה בדיוק מה שמחבר השאלה רצה שיקרה! בקיבינימטיקה אנחנו עובדים חכם: מתייחסים ל-\( f(x) \) כמו אל נעלם פשוט (כמו \( t \)). פותרים קודם את המשוואה האלגברית הקטנה, מגיעים לתוצאה נקייה (למשל \( f(x) = \text{number} \)), ורק אז הולכים לגרף וסופרים חיתוכים. הגרף משחק איתנו כמו כתב חידה: "לכו ותחפשו כמה פעמים אני שווה למספר הזה". תנו לגרף לעשות את העבודה השחורה!
המשוואה הנתונה היא: \[ \frac{1}{f(x)} = f(x) \] נתייחס ל-\( f(x) \) כאל גוש אחד. נכפול את שני אגפי המשוואה ב-\( f(x) \) (בהנחה שאינו אפס) ונקבל: \[ 1 = (f(x))^2 \] נוציא שורש ריבועי לשני האגפים. מכיוון ששורש של 1 יכול להיות 1 או מינוס 1, נקבל שתי אפשרויות: \[ f(x) = 1 \quad \text{או} \quad f(x) = -1 \]
מושגים: הפרדת משתנים אלגברית לפני הצבה
במקום לפתור משוואות מסובכות, נעבור לחשיבה גרפית: - המשוואה \( f(x) = 1 \) שואלת למעשה: כמה פעמים הגרף של \( f(x) \) נחתך עם הישר האופקי \( y = 1 \)? - המשוואה \( f(x) = -1 \) שואלת למעשה: כמה פעמים הגרף של \( f(x) \) נחתך עם הישר האופקי \( y = -1 \)?
מושגים: פתרון גרפי של משוואות
נסרטט דמיונית (או פיזית) את הישרים האופקיים \( y = 1 \) ו- \( y = -1 \) על מערכת הצירים ונספור את נקודות המפגש: הישר \( y = 1 \) חותך את הפונקציה פעם אחת (בין חיתוך ציר ה-x לנקודת המקסימום). הישר \( y = -1 \) חותך את הפונקציה פעם אחת (בין נקודת ההתחלה \( (-4,-4) \) לבין חיתוך ציר ה-x). בסך הכל, יש לנו \( 1 + 1 = 2 \) נקודות חיתוך, כלומר 2 פתרונות למשוואה.
התשובה הסופית: למשוואה יש 2 פתרונות.
בסרטוט נתון גרף הפונקציה f(x). על הגרף מצוינות נקודות הקצה: (−4,−4) ו- (4,4), נקודת החיתוך עם ציר ה-x בנקודה (−3,0), נקודת החיתוך עם ציר ה-y ב-(0,4), ונקודת המקסימום המוחלט ב-(3,6). המשימה: כמה פתרונות יש למשוואה f(x)1=f(x) בתחום ההגדרה של הפונקציה?
