נתון מעגל החוסם את משולש $ABC$. העבירו משיק למעגל בנקודה $A$. נתון: $\angle ACB = 90^\circ$ א. הוכח כי $\Delta ADC \sim \Delta BDA$. נתון גם כי $OG$ חוצה את הזווית $\angle COB$. ב. הוכח כי $AC \parallel OG$. נתון: $AD = AB$, הנקודה $O$ היא אמצע $AB$. אורך הקטע $AC = 2a$. ג. בטא באמצעות $a$ את אורכי הצלעות $BD$ ו- $OC$.
הקשר הפיתגורי באליפסה: המרחק מהקודקוד שעל הציר המשני ($B$) לאחד המוקדים יצור משולש ישר זווית עם הצירים שצלעותיו $b$ ו-$c$. לפי משוואת האליפסה ($a^2 = b^2+c^2$), אורך היתר הוא בדיוק $a$. נתון לכם שהמרחק הוא 5? קיבלתם במתנה ש- $a=5$ בלי לכתוב משוואה אחת! היקף משולש המוקדים: זכרו תמיד את הגדרת האליפסה! סכום המרחקים מכל נקודה על האליפסה (כמו $E$) לשני המוקדים הוא תמיד קבוע ושווה ל-$2a$. יחד עם אורך הבסיס ($2c$), היקף המשולש תמיד יהיה $2a+2c$, ללא קשר למיקומה של הנקודה $E$. מתיחת פונקציות (טרנספורמציה): בסעיף ג' אומרים שהגובה הוכפל פי $k$ עבור אותו שיעור $x$. משמעות הדבר היא שכל שיעורי ה-$y$ הוכפלו ב-$k$. מבחינה אלגברית, פשוט מציבים במשוואה המקורית $\frac{y}{k}$ במקום $y$, ונקבל אליפסה חדשה שבה $b_{new} = k \cdot b$. מתי המוקדים מתלכדים לראשית? כש-$c=0$, והאליפסה הופכת למעגל (כלומר $a=b_{new}$).
הנקודות $D, C, G, B$ מונחות על אותו ישר. כדי להוכיח דמיון, נמצא שתי זוויות שוות בשני המשולשים (דמיון לפי ז.ז.): 1. זווית משותפת: נסתכל על המשולש הקטן $\Delta ADC$ והמשולש הגדול $\Delta BDA$. כיוון שהקודקודים מונחים על אותו ישר, לשני המשולשים יש את הזווית בקודקוד $D$ כזווית משותפת (זהה לחלוטין). $$ \angle ADC = \angle BDA $$ 2. זווית בין משיק למיתר: המשיק למעגל בנקודה $A$ הוא הישר שעליו מונח הקטע $AD$. המיתר במעגל היוצא מנקודת ההשקה הוא $AC$. על פי המשפט הגיאומטרי, הזווית הכלואה בין משיק למיתר (זווית $\angle DAC$) שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני של המעגל (הזווית $\angle ABC$). מאחר ש-$D,C,B$ על ישר אחד, $\angle ABC$ היא למעשה $\angle DBA$. $$ \angle DAC = \angle DBA $$ 3. מסקנה: מצאנו שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים. $$ \Delta ADC \sim \Delta BDA $$
מושגים: דמיון משולשים, זווית בין משיק למיתר
נתחיל בניתוח הנתון ש- $\angle ACB = 90^\circ$: 1. זיהוי קוטר: זווית היקפית במעגל השווה ל-$90^\circ$ תמיד נשענת על קוטר. לכן, הקטע $AB$ הוא קוטר המעגל. 2. זיהוי מרכז: היות ו-$AB$ הוא קוטר, אמצע הקטע $AB$ היא בדיוק מרכז המעגל. לכן, הנקודה $O$ היא מרכז המעגל. 3. משולש שווה שוקיים: נתבונן במשולש $\Delta COB$. הצלעות $OC$ ו-$OB$ הן רדיוסים של המעגל ($R$), ולכן שוות זו לזו. מכאן ש-$\Delta COB$ הוא משולש שווה שוקיים. 4. חוצה זווית שהוא גובה: נתון כי הקטע $OG$ חוצה את זווית הראש $\angle COB$. במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש הוא גם התיכון וגם הגובה לבסיס. לכן, $OG$ מאונך לצלע $CB$ (שהיא חלק מהישר $DB$): $$ OG \perp DB $$ 5. מסקנה של ישרים מקבילים: הראינו ש-$OG \perp DB$. בנוסף, נתון מההתחלה כי $\angle ACB = 90^\circ$, כלומר $AC \perp CB$, ומכיוון שמדובר באותו ישר: $AC \perp DB$. שני ישרים ($AC$ ו-$OG$) המאונכים לאותו ישר שלישי ($DB$) – בהכרח מקבילים זה לזה. $$ AC \parallel OG $$
מושגים: קוטר המעגל, משולש שווה שוקיים, ישרים מקבילים
נאסוף את כל הנתונים ונשתמש במשפט פיתגורס ויחסי הדמיון: - סימנו ש-$AB$ הוא קוטר (נסמנו כ-$2R$). - נתון $AD = AB$, ולכן גם $AD = 2R$. - נתון $AC = 2a$. - הנקודה $O$ היא מרכז המעגל ולכן הרדיוס $OC = R$. - המשיק למעגל בנקודה $A$ מאונך לקוטר $AB$ בנקודת ההשקה, לכן $\angle DAB = 90^\circ$. 1. שימוש במשפט פיתגורס במשולש $\Delta DAB$: המשולש הוא ישר זווית ($\angle DAB = 90^\circ$). נחשב את היתר $BD$: $$ BD^2 = AD^2 + AB^2 $$ $$ BD^2 = (2R)^2 + (2R)^2 = 4R^2 + 4R^2 = 8R^2 $$ $$ BD = \sqrt{8R^2} = 2\sqrt{2}R $$ 2. שימוש ביחסי דמיון מסעיף א': הוכחנו כי $\Delta ADC \sim \Delta BDA$. נרשום את יחס הצלעות המתאימות: $$ \frac{AC}{BA} = \frac{AD}{BD} $$ נציב את הביטויים שמצאנו ($AC = 2a$, $BA = 2R$, $AD = 2R$, $BD = 2\sqrt{2}R$): $$ \frac{2a}{2R} = \frac{2R}{2\sqrt{2}R} $$ נצמצם את השברים: $$ \frac{a}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ נחלץ את $R$: $$ R = \sqrt{2}a $$ 3. הצבה לחישוב הצלעות המבוקשות: אורך $OC$: זהו פשוט הרדיוס $R$. $$ OC = \sqrt{2}a $$ אורך $BD$: מצאנו קודם ש- $BD = 2\sqrt{2}R$. נציב את ה-$R$ שמצאנו: $$ BD = 2\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2}a) = 2 \cdot 2 \cdot a = 4a $$
מושגים: משפט פיתגורס, יחסי דמיון
התשובה הסופית: א. & ב. הוכחות מלאות בפתרון המודרך. ג. $BD = 4a$ , $OC = \sqrt{2}a$
נתון מעגל החוסם את משולש ABC. העבירו משיק למעגל בנקודה A. נתון: ∠ACB=90∘ א. הוכח כי ΔADC∼ΔBDA. נתון גם כי OG חוצה את הזווית ∠COB. ב. הוכח כי AC∥OG. נתון: AD=AB, הנקודה O היא אמצע AB. אורך הקטע AC=2a. ג. בטא באמצעות a את אורכי הצלעות BD ו- OC.
