חזרה לקטלוג
#267גיאומטריה
משיק למעגל, דמיון ויחסי שטחיםקראו את השאלה
שאלה
הנקודות נמצאות על היקפו של מעגל. המיתרים ו- נחתכים בנקודה . משיק למעגל בנקודה . נתון:
א. (1) הוכח: . (2) הוכח: . ב. נתון: . הוכח: . ג. נתון: . חשב את יחס השטחים:
גיאומטריה · משיק למעגל, דמיון ויחסי שטחים
השאלה
הנקודות $A, B, C, D$ נמצאות על היקפו של מעגל. המיתרים $AC$ ו-$BD$ נחתכים בנקודה $F$. $AE$ משיק למעגל בנקודה $A$. נתון: $DF = FC$ א. (1) הוכח: $\Delta ADC \cong \Delta BCD$. (2) הוכח: $\angle BDC = \angle DAE$. ב. נתון: $ED \parallel AC$. הוכח: $\Delta ADE \sim \Delta DBC$. ג. נתון: $BC = 2DE$. חשב את יחס השטחים: $$ \frac{S_{\Delta AED}}{S_{AEDC}} $$
הטיפ של עובד
לרדוף אחרי הקשתות: ברגע שנתון לכם $DF = FC$, נוצר משולש שווה שוקיים $\Delta DFC$. זוויות הבסיס שלו שוות, והן זוויות היקפיות! זה אומר שהקשתות שעליהן הן נשענות (קשת $AD$ וקשת $BC$) שוות גם הן. מקשתות שוות מקבלים מיתרים שווים וזוויות היקפיות נוספות שוות – זה המפתח להוכחת החפיפה בסעיף א'. המשפט של משיק ומיתר: זכרו תמיד! הזווית הכלואה בין משיק ($AE$) למיתר ($AD$) שווה לזווית ההיקפית ($\angle ACD$ או $\angle ABD$) הנשענת על אותו מיתר בדיוק. זהו כלי קריטי להעברת זוויות מחוץ למעגל אל תוכו. יחס שטחים דרך דמיון וחפיפה: בסעיף ג', אחרי שמצאנו ש-$\Delta ADE \sim \Delta DBC$, יחס השטחים שלהם שווה לריבוע יחס הצלעות ($k^2$). אבל איך זה עוזר למצוא את שטח המרובע כולו? כאן נכנסת החפיפה מסעיף א' ($\Delta ADC \cong \Delta BCD$) שמאפשרת לנו להחליף שטחים. כך ניתן לבטא את כל חלקי המרובע ($S_{ADE}$ ו-$S_{ADC}$) בעזרת אותו נעלם שטח ($S$) ולחלק אותם בקלות.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א'(1): הוכחת חפיפת המשולשים $\Delta ADC \cong \Delta BCD$
נתמקד בנתונים ונוציא מהם תכונות לגבי הזוויות והצלעות: 1. נתון: $DF = FC$. מכאן נובע שהמשולש $\Delta DFC$ הוא משולש שווה שוקיים. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, ולכן: $$ \angle FDC = \angle FCD \implies \angle BDC = \angle ACD $$ 2. הזוויות $\angle BDC$ ו-$\angle ACD$ הן זוויות היקפיות. הזווית $\angle BDC$ נשענת על הקשת $\widehat{BC}$. הזווית $\angle ACD$ נשענת על הקשת $\widehat{AD}$. מכיוון שהזוויות שוות, גם הקשתות עליהן הן נשענות שוות, ולכן גם המיתרים המתאימים להן שווים: $$ AD = BC $$ 3. על אותה קשת בדיוק ($\widehat{DC}$) נשענות שתי זוויות היקפיות נוספות: $\angle DAC$ ו- $\angle DBC$. לכן הן שוות: $$ \angle DAC = \angle DBC $$ 4. כעת נסתכל על המשולשים $\Delta ADC$ ו- $\Delta BCD$: - $\angle DAC = \angle DBC$ (לפי סעיף 3) - $\angle ACD = \angle BDC$ (לפי סעיף 1) - $AD = BC$ (לפי סעיף 2) על פי משפט חפיפה זווית-זווית-צלע (ז.ז.צ) (או צ.ז.ז מאחר שהצלע מול הזווית השווה), המשולשים חופפים. $$ \Delta ADC \cong \Delta BCD $$ (דרך חלופית קצרה: מצאנו $\angle ACD = \angle BDC$ ו-$AD=BC$. הצלע $DC$ משותפת לשניהם. המשולשים חופפים לפי צ.ז.צ).
מושגים: חפיפת משולשים, זוויות היקפיות שוות, קשתות שוות
שלב 2: סעיף א'(2): הוכחת שוויון הזוויות $\angle BDC = \angle DAE$
נשתמש במשפט מרכזי בגיאומטריה של המעגל הנוגע למשיקים: 1. הישר $AE$ הוא משיק למעגל בנקודה $A$. הקטע $AD$ הוא מיתר היוצא מנקודת ההשקה. הזווית הכלואה ביניהם היא $\angle DAE$. 2. על פי המשפט: זווית הכלואה בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר. הזווית ההיקפית הנשענת על המיתר $AD$ היא $\angle ACD$. לכן: $$ \angle DAE = \angle ACD $$ 3. בסעיף א'(1) הוכחנו כי המשולש $\Delta DFC$ שווה שוקיים ולכן $\angle ACD = \angle BDC$. על ידי כלל המעבר נסיק מיד ש: $$ \angle BDC = \angle DAE $$
מושגים: זווית בין משיק למיתר, כלל המעבר
שלב 3: סעיף ב': הוכחת הדמיון $\Delta ADE \sim \Delta DBC$
כדי להוכיח דמיון, נמצא שתי זוויות שוות בהתאמה בשני המשולשים (דמיון ז.ז.): - זווית ראשונה: בסעיף א'(2) בדיוק הוכחנו כי: $$ \angle DAE = \angle BDC $$ זוהי זווית אחת שווה ($\angle A$ במשולש השמאלי שווה ל-$\angle D$ במשולש הימני). - זווית שנייה: נתון כי $ED \parallel AC$. מתוך ישרים מקבילים אלו נגזרות זוויות מתחלפות שוות בין החותך $AD$: $$ \angle EDA = \angle DAC $$ כפי שראינו בסעיף א'(1), הזווית $\angle DAC$ היא זווית היקפית הנשענת על הקשת $DC$, וגם הזווית $\angle DBC$ נשענת על אותה קשת, ולכן הן שוות: $\angle DAC = \angle DBC$. מכלל המעבר נובע כי: $$ \angle EDA = \angle DBC $$ מצאנו שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים: $$ \Delta ADE \sim \Delta DBC $$
מושגים: דמיון משולשים, זוויות מתחלפות, ישרים מקבילים
שלב 4: סעיף ג': חישוב יחס השטחים
שלב 1: שימוש ביחס הדמיון נתון כי $BC = 2DE$. נעזר במשולשים הדומים מסעיף ב' ($\Delta ADE \sim \Delta DBC$). הצלע $DE$ מתוך המשולש $ADE$ מתאימה לצלע $BC$ מתוך המשולש $DBC$. לכן, יחס הדמיון $k$ (מהמשולש הקטן לגדול) הוא: $$ k = \frac{DE}{BC} = \frac{DE}{2DE} = \frac{1}{2} $$ ידוע כי יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון ($k^2$): $$ \frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta DBC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$ מכאן נסמן: אם $S_{\Delta ADE} = S$, אזי $S_{\Delta DBC} = 4S$. המרובע $AEDC$ מורכב משני המשולשים $\Delta ADE$ ו-$\Delta ADC$. שלב 2: שטח המרובע והיחס הסופי בסעיף א'(1) הוכחנו כי המשולשים חופפים: $\Delta ADC \cong \Delta BCD$. משולשים חופפים הם שווי שטח. כיוון ש-$S_{\Delta BCD} = 4S$, נובע שגם: $$ S_{\Delta ADC} = 4S $$ המרובע המבוקש $AEDC$ מורכב בדיוק משני המשולשים הללו שאינם חופפים בשטחם, המחוברים בצלע $AD$: $$ S_{AEDC} = S_{\Delta AED} + S_{\Delta ADC} = S + 4S = 5S $$ כעת נציב הכל ביחס שנדרשנו לחשב: $$ \frac{S_{\Delta AED}}{S_{AEDC}} = \frac{S}{5S} = \frac{1}{5} $$
מושגים: יחס שטחים במרובעים, שטח משולשים דומים, שטח משולשים חופפים
תשובה סופית
התשובה הסופית: א. (1) הוכחת חפיפה מסתמכת על צ.ז.ז (או ז.ז.צ) דרך זוויות היקפיות שוות וצלע משותפת $DC$ (פירוט מלא בפתרון המודרך). א. (2) ו- ב. הוכחת זווית ודמיון: שימוש במשפט זווית בין משיק למיתר, וזוויות מתחלפות בין מקבילים, מוביל ישירות למשפט דמיון ז.ז. ג. יחס השטחים: $\frac{S_{\Delta AED}}{S_{AEDC}} = \frac{1}{5}$