הנקודות $P$, $D$, $E$ ו-$C$ נמצאות על היקף מעגל שמרכזו בנקודה $O$. ממשיכים את הרדיוס $OD$ עד לנקודה $B$ ואת הרדיוס $OC$ עד לנקודה $A$ כך שנוצר משולש $AOB$. נתון: $OE \parallel PD$ , $\angle OAE = \angle EAB$. א. הוכח כי הנקודה $E$ היא נקודת מפגש חוצי זוויות במשולש $AOB$. המשך הרדיוס $OE$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $G$. ב. הוכח: $$ \frac{BG}{OB} = \frac{AG}{OA} $$ ג. נתון: $AC = OD$. הוכח: $AG = 2GE$.
לקרוא בין השורות (או השרטוטים): בגיאומטריה, כשישר מצויר ברצף דרך מרכז מעגל ונקודות נוספות (כמו $P, O, C, A$), אנחנו מסיקים שהוא קו ישר. הישר הזה חותך מקבילים, ולכן מאפשר שימוש בזוויות מתאימות! זה המפתח להראות ש-$OE$ חוצה את זווית $O$. משפט חוצה זווית – הגיבור השקט: שימו לב לסעיף ב'. מבקשים יחס בין צלעות במשולש לקטעים על הבסיס ($\frac{BG}{OB} = \frac{AG}{OA}$). זוהי 'תעודת הזהות' של משפט חוצה הזווית! אם הוכחתם בסעיף א' ש-$OG$ חוצה זווית, סעיף ב' נפתר בשורה אחת בלבד. רדיוס כמשתנה מתווך: בסעיף ג' נתון ש-$AC = OD$. במבט ראשון קשר מוזר. אבל רגע, $OD$ הוא רדיוס המעגל ($R$). אז $AC=R$. כיוון שגם $OC=R$, גילינו ש-$OA$ כולו שווה ל-$2R$! ברגע שמכניסים גם את $OE=R$ לתמונה ומפעילים שוב את משפט חוצה הזווית על המשולש הקטן $\Delta AOG$, מקבלים את היחס המבוקש 1:2. פשוט ויפה.
כדי להוכיח שהנקודה $E$ היא מפגש חוצי הזוויות במשולש $\Delta AOB$, עלינו להראות שהיא נמצאת על שני חוצי זוויות של המשולש. 1. נתון ראשון: נתון כי $\angle OAE = \angle EAB$. המשמעות היא שהקטע $AE$ הוא חוצה הזווית של $\angle OAB$. 2. מציאת חוצה הזווית השני: נשתמש בנתוני המעגל והמקבילים כדי להראות ש-$OE$ חוצה את $\angle AOB$. המשולש $\Delta OPD$ הוא משולש שווה שוקיים, מכיוון שצלעותיו הן רדיוסים במעגל ($OP = OD = R$). לכן, זוויות הבסיס שלו שוות: $$ \angle OPD = \angle ODP $$ 3. על סמך השרטוט, הנקודות $P, O, A$ מונחות על ישר אחד. הישר הזה חותך את הישרים המקבילים $OE \parallel PD$. לכן, הזוויות המתאימות שוות זו לזו: $$ \angle AOE = \angle OPD $$ 4. הישר החותך השני הוא הישר $O, D, B$. הוא חותך את הישרים המקבילים $OE \parallel PD$. לכן, הזוויות המתחלפות שוות זו לזו: $$ \angle EOB = \angle ODP $$ 5. נשתמש בכלל המעבר: אם $\angle OPD = \angle ODP$ (מסעיף 2), אז מתוך השוויונות בסעיפים 3 ו-4 נובע: $$ \angle AOE = \angle EOB $$ מכאן שהקטע $OE$ הוא חוצה הזווית של $\angle AOB$. 6. מסקנה: מצאנו ש-$AE$ חוצה את זווית $A$, וש-$OE$ חוצה את זווית $O$. הנקודה $E$ היא נקודת החיתוך שלהם. לכן, הנקודה $E$ היא נקודת מפגש חוצי הזוויות במשולש $AOB$. מ.ש.ל (א')
מושגים: מפגש חוצי זוויות, ישרים מקבילים (מתאימות ומתחלפות), משולש שווה שוקיים (רדיוסים)
בסעיף א' הוכחנו שהקטע $OE$ (ולכן גם המשכו $OG$) הוא חוצה הזווית של $\angle AOB$. נסתכל על המשולש הגדול $\Delta AOB$. הקטע $OG$ חוצה את הזווית מקודקוד $O$ וחותך את הצלע שממול $AB$ בנקודה $G$. נפעיל את משפט חוצה הזווית, הקובע שחוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שממול לזווית ביחס שווה ליחס הצלעות הכולאות את הזווית: $$ \frac{AG}{BG} = \frac{OA}{OB} $$ נבצע פעולה אלגברית פשוטה של החלפת המכנה $BG$ עם המונה $OA$ (כפל וחילוק בהצלבה): $$ \frac{BG}{OB} = \frac{AG}{OA} $$ מ.ש.ל (ב')
מושגים: משפט חוצה זווית, פרופורציה
נשתמש בנתון החדש: $AC = OD$. - הקטע $OD$ הוא רדיוס במעגל, ולכן נסמנו כ-$R$. מכאן שגם $AC = R$. - הקטע $OC$ גם הוא רדיוס במעגל, ולכן $OC = R$. - הצלע $OA$ מורכבת מחיבור הקטעים $OC$ ו-$AC$: $$ OA = OC + AC = R + R = 2R $$ - הקטע $OE$ אף הוא רדיוס המעגל, ולכן: $OE = R$. יישום משפט חוצה זווית במשולש הפנימי: נסתכל כעת על המשולש הקטן יותר, $\Delta AOG$. על פי הנתון מסעיף א', $AE$ הוא חוצה הזווית של $\angle OAB$. מכיוון ש-$G$ מונחת על הצלע $AB$, הזווית $\angle OAG$ היא בדיוק אותה זווית כמו $\angle OAB$. לכן, במשולש $\Delta AOG$, הקטע $AE$ הוא חוצה הזווית מקודקוד $A$. נפעיל שוב את משפט חוצה הזווית, הפעם בתוך המשולש $\Delta AOG$: $$ \frac{AG}{GE} = \frac{OA}{OE} $$ נציב את הגדלים שחישבנו באמצעות הרדיוס $R$ ($OA = 2R$ ו-$OE = R$): $$ \frac{AG}{GE} = \frac{2R}{R} $$ נצמצם את $R$ ונקבל: $$ \frac{AG}{GE} = 2 \implies AG = 2GE $$ מ.ש.ל (ג') מבט על משולש $\Delta ADE$: הרדיוס $AO$ חוצה בדיוק את זווית הראש (המחשה ממשולש שווה שוקיים שמוביל ליחס).
מושגים: משפט חוצה זווית (פעם שנייה), שימוש ברדיוס כפרמטר יחס
התשובה הסופית: הוכחת סעיפים א', ב' ו-ג' הושלמה בהצלחה (ראו פירוט מלא מטה).
הנקודות P, D, E ו-C נמצאות על היקף מעגל שמרכזו בנקודה O. ממשיכים את הרדיוס OD עד לנקודה B ואת הרדיוס OC עד לנקודה A כך שנוצר משולש AOB. נתון: OE∥PD , ∠OAE=∠EAB. א. הוכח כי הנקודה E היא נקודת מפגש חוצי זוויות במשולש AOB. המשך הרדיוס OE חותך את הצלע AB בנקודה G. ב. הוכח: OBBG=OAAG ג. נתון: AC=OD. הוכח: AG=2GE.
