המרובע $ABCD$ הוא מקבילית. הצלע $AB$ משיקה בנקודה $A$ למעגל שמרכזו $O$. קודקודי המקבילית $C$ ו- $D$ נמצאים על היקף המעגל. הנקודה $E$ נמצאת על המיתר $AC$ כך שהקטע $DE$ עובר דרך מרכז המעגל. א. הוכח: $AD = AC$. ב. נסמן: $\angle ABC = \alpha$. הבע באמצעות $\alpha$ את זוויות המשולש $AOD$. ג. הוכח: $$ \frac{AE}{BC} = \frac{OE}{OD} $$
משיק, מיתר ומקבילים - השילוב המנצח: כשאתם רואים משיק ומיתר, חפשו מיד את 'הזווית הכלואה ביניהם שווה לזווית ההיקפית'. כאן ($\angle BAC = \angle ADC$). כשיש בנוסף קווים מקבילים ממקבילית, זוויות מתחלפות שוות יובילו אתכם למשולש שווה שוקיים בתוך שנייה. מזוויות היקפיות למרכזיות: מצאתם ש-$\angle ACD = \alpha$? נהדר. כשמבקשים מכם זוויות של משולש המחובר למרכז המעגל ($\Delta AOD$), פשוט 'העתיקו' את הזווית למרכז: זווית מרכזית כפולה מהזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת. משם, רדיוסים שווים סוגרים לכם את הפינה עם משולש שווה שוקיים. משפט חוצה זווית בתחפושת: איך מגיעים ליחסים מוזרים כמו $\frac{AE}{BC} = \frac{OE}{OD}$? שימו לב שמדובר בקטעים של המשולש $\Delta ADE$. כשתחשבו את $\angle OAD$ ואת $\angle OAE$ (אשר שוות שתיהן ל-$90^\circ - \alpha$), תגלו ש-$AO$ הוא חוצה זווית במשולש הזה! הצבת משפט חוצה הזווית יחד עם תכונת המקבילית ($AD=BC$) פותרת את הסעיף באלגנטיות נדירה.
נתחיל מפירוק הנתונים הגיאומטריים של השאלה: 1. שימוש בתכונות המקבילית: המרובע $ABCD$ הוא מקבילית, ולכן הצלעות הנגדיות מקבילות: $AB \parallel DC$. הישר $AC$ מהווה חותך לצלעות המקבילות, ולכן הזוויות המתחלפות שוות: $$ \angle BAC = \angle ACD $$ 2. משפט זווית בין משיק למיתר: נתון כי הצלע $AB$ משיקה למעגל בנקודה $A$. הקטע $AC$ הוא מיתר העובר דרך נקודת ההשקה. על פי המשפט הגיאומטרי, הזווית הכלואה בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני. במקרה שלנו, הזווית הנשענת על המיתר $AC$ היא $\angle ADC$. ולכן: $$ \angle BAC = \angle ADC $$ 3. כלל המעבר: נשווה בין שתי המשוואות שקיבלנו: $$ \angle ACD = \angle ADC $$ 4. מסקנה: במשולש $\Delta ADC$, מצאנו שתי זוויות שוות. משולש בעל שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים. לכן, הצלעות שמול הזוויות השוות, שוות באורכן: $$ AD = AC $$ מ.ש.ל (א')
מושגים: זוויות מתחלפות, זווית בין משיק למיתר, משולש שווה שוקיים
נסמן לפי הנתון: $\angle ABC = \alpha$. עלינו למצוא את כל הזוויות של $\Delta AOD$. 1. במקבילית, זוויות נגדיות שוות. לכן: $$ \angle ADC = \angle ABC = \alpha $$ 2. על סמך מה שהוכחנו בסעיף א' ($\angle ACD = \angle ADC$), נקבל שגם הזווית השנייה במשולש שווה שוקיים זה שווה ל-$\alpha$: $$ \angle ACD = \alpha $$ 3. כעת, נסתכל על הקשת $\widehat{AD}$ במעגל. הזווית ההיקפית הנשענת על קשת זו היא $\angle ACD$, והראינו שערכה הוא $\alpha$. הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת בדיוק היא הזווית $\angle AOD$. כיוון שזווית מרכזית כפולה מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת: $$ \angle AOD = 2 \cdot \angle ACD = 2\alpha $$ 4. נתבונן בתוך המשולש $\Delta AOD$. הצלעות $OA$ ו-$OD$ הן שניהם רדיוסים של המעגל ($OA=OD=R$). לכן, משולש $\Delta AOD$ הוא משולש שווה שוקיים, וזוויות הבסיס שלו שוות. נחשב אותן: $$ \angle OAD = \angle ODA = \frac{180^\circ - \angle AOD}{2} = \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} = 90^\circ - \alpha $$ לסיכום, זוויות המשולש הן: $2\alpha \quad , \quad 90^\circ - \alpha \quad , \quad 90^\circ - \alpha$
מושגים: זוויות נגדיות במקבילית, זווית מרכזית והיקפית, סכום זוויות במשולש
היחס המבוקש רומז לנו על שימוש במשפט פרופורציה, כגון משפט חוצה זווית או דמיון. נבדוק את הזוויות במשולש $\Delta ADE$ בו מונחים הקטעים. 1. חישוב הזווית $\angle OAE$ (שהיא בעצם $\angle OAC$): בדיוק כפי שעשינו בסעיף ב', נסתכל על המשולש המרכזי $\Delta AOC$. הזווית המרכזית $\angle AOC$ נשענת על הקשת $\widehat{ADC}$. הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת היא $\angle ADC = \alpha$. ולכן: $\angle AOC = 2\alpha$. משולש $\Delta AOC$ גם הוא שווה שוקיים (רדיוסים $OA=OC$), ולכן זוויות הבסיס שלו הן: $$ \angle OAC = \angle OCA = \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} = 90^\circ - \alpha $$ מכיוון שהנקודה $E$ מונחת על המיתר $AC$, הרי ש- $\angle OAE = \angle OAC = 90^\circ - \alpha$. 2. גילוי חוצה הזווית הנסתר: בסעיף ב' מצאנו ש- $\angle OAD = 90^\circ - \alpha$. כעת מצאנו ש- $\angle OAE = 90^\circ - \alpha$. המסקנה היא ש- $\angle OAD = \angle OAE$! כלומר, הקטע $AO$ הוא חוצה זווית של $\angle DAE$ בתוך המשולש $\Delta ADE$. 3. יישום משפט חוצה זווית והשלמת ההוכחה: נפעיל את משפט חוצה הזווית במשולש $\Delta ADE$. המשפט קובע כי יחס הצלעות הכולאות שווה ליחס הקטעים שהחוצה חותך מהצלע שממול: $$ \frac{AD}{AE} = \frac{OD}{OE} $$ נבצע החלפת מונים ומכנים (או כפל בהצלבה וסידור מחדש) כדי לקבל: $$ \frac{AE}{AD} = \frac{OE}{OD} $$ נזכור שבתחילת השאלה נתון ש-$ABCD$ הוא מקבילית. במקבילית צלעות נגדיות שוות, ולכן $AD = BC$. נציב $BC$ במקום $AD$ בשבר המקורי ונקבל את מבוקשנו: $$ \frac{AE}{BC} = \frac{OE}{OD} $$ מ.ש.ל (ג')
מושגים: משפט חוצה זווית, החלפת איברים בפרופורציה
התשובה הסופית: א. הוכח בהצלחה ש-$AD=AC$. ב. זוויות המשולש $\Delta AOD$ הן: $2\alpha \quad , \quad 90^\circ - \alpha \quad , \quad 90^\circ - \alpha$. ג. הוכח בהצלחה יחס הקטעים.
המרובע ABCD הוא מקבילית. הצלע AB משיקה בנקודה A למעגל שמרכזו O. קודקודי המקבילית C ו- D נמצאים על היקף המעגל. הנקודה E נמצאת על המיתר AC כך שהקטע DE עובר דרך מרכז המעגל.
א. הוכח: AD=AC. ב. נסמן: ∠ABC=α. הבע באמצעות α את זוויות המשולש AOD. ג. הוכח: BCAE=ODOE
