למעגל החוסם את משולש $ABC$ העבירו משיק בנקודה $A$. המשיק מקביל לצלע $BC$. המשך הקטע $AE$ חותך את המעגל בנקודה $F$. נתון: $BE = \frac{1}{2}BC$ א. הוכח כי $AE$ הוא גובה במשולש $ABC$. ב. הוכח כי המרובע $ABFC$ הוא דלתון. ג. נתון: $FC = 6$ , $AC = 8$. מצא את רדיוס המעגל החוסם את המשולש $ABC$.
משיק מקביל למיתר לוכד שוקיים שוות: תמיד כשיש לכם משיק המקביל למיתר, המשולש שקודקודו בנקודת ההשקה ובסיסו המיתר הוא משולש שווה שוקיים! זה נובע ישירות מהשילוב של זוויות מתחלפות שוות והמשפט של זווית בין משיק למיתר. הקסם של האנך האמצעי במעגל: בסעיף ב' תוכיחו ש-$AF$ מאונך ל-$BC$ וחוצה אותו. כלומר, $AF$ הוא האנך האמצעי למיתר. בגיאומטריה של המעגל, האנך האמצעי למיתר עובר תמיד דרך מרכז המעגל! משפט הזווית הישרה: אם הוכחתם ש-$AF$ עובר דרך המרכז והוא קטע המחבר שתי נקודות על המעגל – הרי שהוא קוטר! ומה קורה למשולש שנשען על קוטר? נכון, הוא ישר זווית. משם החישוב לפיתגורס לוקח בדיוק חצי דקה.
נתחיל בניתוח הנתון הראשון: למעגל יש משיק בנקודה $A$, והוא מקביל לצלע $BC$. נסמן נקודה על המשיק משמאל ל-$A$ באות $T$. 1. שימוש בישרים מקבילים: כיוון שהמשיק מקביל ל-$BC$, הזוויות המתחלפות בין הישרים המקבילים שוות: $$ \angle TAB = \angle ABC $$ 2. משפט זווית בין משיק למיתר: הזווית הכלואה בין המשיק (בנקודה $A$) למיתר ($AB$) שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני ($\angle ACB$): $$ \angle TAB = \angle ACB $$ 3. סיכום למשולש שווה שוקיים: על פי כלל המעבר, נסיק ששתי זוויות הבסיס במשולש $ABC$ שוות: $$ \angle ABC = \angle ACB $$ לכן, משולש $ABC$ הוא משולש שווה שוקיים ($AB = AC$). 4. שילוב עם נתון החצייה: נתון לנו כי $BE = \frac{1}{2}BC$. המשמעות היא ש-$E$ היא אמצע הצלע $BC$. לכן, הקטע $AE$ היוצא מהקודקוד לאמצע הבסיס הוא תיכון במשולש. במשולש שווה שוקיים, התיכון לבסיס הוא גם גובה לבסיס. לכן: $$ AE \perp BC $$ מ.ש.ל (א')
מושגים: זווית בין משיק למיתר, זוויות מתחלפות, משולש שווה שוקיים, תיכון וגובה במשולש
כדי להוכיח שמרובע הוא דלתון, עלינו להראות שהוא מורכב משני זוגות של צלעות סמוכות שוות. במילים אחרות, צריך להוכיח שאלכסון אחד מהווה אנך אמצעי לאלכסון השני. 1. בסעיף א' מצאנו ש- $AB = AC$ (משולש שווה שוקיים). זהו הזוג הראשון של הצלעות הסמוכות. 2. בנוסף, ראינו שהקטע $AE$ הוא גובה ($\perp BC$) ותיכון ל-$BC$. המשמעות היא שהקטע $AE$ מונח על האנך האמצעי של הקטע $BC$. 3. נתון שהנקודה $F$ היא נקודת החיתוך של המשך הקטע $AE$ עם המעגל. לכן, הנקודה $F$ נמצאת גם היא על האנך האמצעי של $BC$. 4. על פי המשפט הגיאומטרי: "כל נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של קטע, נמצאת במרחקים שווים מקצותיו". מכיוון ש-$F$ מונחת על האנך האמצעי ל-$BC$, מתקיים: $$ FB = FC $$ 5. מסקנה: במרובע $ABFC$ מצאנו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות: $AB = AC$ וכן $FB = FC$. לכן המרובע $ABFC$ הוא דלתון. מ.ש.ל (ב')
מושגים: אנך אמצעי, תכונות הדלתון
נתון לנו כי: $FC = 6$ ו- $AC = 8$. ניעזר בתובנה שמצאנו בסעיף ב': הקטע $AF$ הוא האנך האמצעי למיתר $BC$ במעגל. משפט בגיאומטריה של המעגל: האנך האמצעי למיתר עובר בהכרח דרך מרכז המעגל. מכיוון שהקטע $AF$ עובר דרך מרכז המעגל, ומחבר שתי נקודות על ההיקף ($A$ ו-$F$), הקטע $AF$ הוא למעשה קוטר של המעגל. המשולש $ACF$ נשען על הקוטר $AF$, ולכן הוא משולש ישר זווית (זווית $C$ ישרה). זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה ($90^\circ$). לכן, במשולש $\Delta ACF$ מתקיים: $\angle ACF = 90^\circ$. נפעיל את משפט פיתגורס במשולש ישר הזווית $\Delta ACF$ כדי למצוא את הקוטר $AF$: $$ AF^2 = AC^2 + FC^2 $$ $$ AF^2 = 8^2 + 6^2 $$ $$ AF^2 = 64 + 36 = 100 $$ $$ AF = \sqrt{100} = 10 $$ מכיוון ש-$AF$ הוא הקוטר של המעגל, הרדיוס $R$ שווה למחציתו: $$ R = \frac{10}{2} = 5 $$
מושגים: אנך אמצעי עובר במרכז, זווית היקפית ישרה, משפט פיתגורס
התשובה הסופית: א. & ב. הוכחות מלאות לשלבים הגאומטריים מופיעות בפתרון המודרך. ג. $R = 5$
למעגל החוסם את משולש ABC העבירו משיק בנקודה A. המשיק מקביל לצלע BC. המשך הקטע AE חותך את המעגל בנקודה F. נתון: BE=21BC
א. הוכח כי AE הוא גובה במשולש ABC. ב. הוכח כי המרובע ABFC הוא דלתון. ג. נתון: FC=6 , AC=8. מצא את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC.
