גיאומטריה · מעגלים משיקים ודמיון משולשים

השאלה

לפניך שני מעגלים שמרכזיהם $ O_1 $ ו- $ O_2 $ המשיקים זה לזה מבחוץ. הנקודה $ A $ היא נקודת ההשקה של שני המעגלים. הנקודות $ B $ ו- $ C $ הן נקודות ההשקה של המעגלים עם המשיק המשותף $ BC $ (ראה שרטוט). $ AD $ קוטר המעגל שמרכזו $ O_2 $. א. (1) הוכח: $ BA \perp AC $. א. (2) הוכח: $ \Delta BAC \sim \Delta DBA $. נתון: שטח המרובע $ ACBD $ גדול פי $ 2.5 $ משטח המשולש $ ABC $. ב. חשב את היחס $ \frac{AC}{DB} $. נתון: $ BC = \sqrt{10} $ ס"מ. ג. חשב את $ DB $.

הטיפ של עובד

בניית עזר קלאסית: כששני מעגלים משיקים זה לזה, כמעט תמיד משתלם להעביר משיק משותף בנקודת ההשקה ($A$). זה מאפשר שימוש מיידי במשפט "שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה", ומוביל לזיהוי תיכון שווה למחצית היתר. זווית בין משיק למיתר: אל תשכחו! הזווית הכלואה בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני. זה כלי רב עוצמה בהוכחת דמיון משולשים. יחס שטחים בדמיון: זכרו את הכלל החשוב: יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון ($k^2$). תרגמו את היחס המספרי הנתון למשוואה פשוטה, ומשם הדרך למציאת יחס הצלעות תהיה קצרה.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א' (1): הוכחת הניצבות $ BA \perp AC $

נעביר בניית עזר: משיק משותף פנימי לשני המעגלים העובר בנקודת ההשקה $ A $. נסמן את נקודת החיתוך של משיק זה עם המשיק החיצוני המשותף $ BC $ באות $ M $. במעגל השמאלי ($O_2$): $ MB $ ו-$ MA $ הם שני משיקים היוצאים מאותה נקודה חיצונית $ M $ למעגל. לכן הם שווים באורכם: $ MB = MA $. במעגל הימני ($O_1$): באותו אופן, $ MC $ ו-$ MA $ הם שני משיקים היוצאים מהנקודה $ M $ למעגל. לכן: $ MC = MA $. מכלל המעבר נובע כי: \[ MB = MC = MA \] נסתכל על המשולש $ \Delta ABC $: הקטע $ AM $ הוא תיכון לצלע $ BC $ (כי הוא חוצה אותה בנקודה $ M $). מצאנו שהתיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה ($ AM = \frac{BC}{2} $). משפט בגיאומטריה קובע: משולש שבו התיכון שווה למחצית הצלע אליה הוא יורד - הוא בהכרח משולש ישר זווית (והזווית שממנה יוצא התיכון היא בת $ 90^\circ $). \[ \angle BAC = 90^\circ \implies BA \perp AC \]

מושגים: משיק משותף לשני מעגלים המשיקים זה לזה, תיכון ליתר במשולש ישר זווית

שלב 2: סעיף א' (2): הוכחת דמיון המשולשים $ \Delta BAC \sim \Delta DBA $

כדי להוכיח דמיון משולשים, נחפש שתי זוויות שוות (משפט דמיון ז.ז.): זווית ראשונה: נתון ש-$ AD $ הוא קוטר המעגל השמאלי. זווית $ \angle DBA $ היא זווית היקפית הנשענת על קוטר, ולכן היא ישרה ($ 90^\circ $). מסעיף א'(1) הוכחנו ש- $ \angle BAC = 90^\circ $. לכן: $ \angle DBA = \angle BAC = 90^\circ $. זווית שנייה: נסתכל במעגל השמאלי על המשיק $ BC $ והמיתר $ AB $. הזווית הכלואה בין המשיק למיתר היא $ \angle ABC $. הזווית ההיקפית הנשענת על המיתר $ AB $ מצידו השני היא $ \angle BDA $. על פי המשפט: זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר, נקבל: \[ \angle ABC = \angle BDA \] מצאנו שתי זוויות שוות, ולכן על פי משפט דמיון ז.ז.: \[ \Delta BAC \sim \Delta DBA \] (שימו לב להתאמת הקודקודים: $B \leftrightarrow D$, $A \leftrightarrow B$, $C \leftrightarrow A$)

מושגים: זווית בין משיק למיתר, דמיון משולשים (ז.ז)

שלב 3: סעיף ב': חישוב היחס $ \frac{AC}{DB} $

נתון כי שטח המרובע $ ACBD $ גדול פי $ 2.5 $ משטח המשולש $ ABC $: \[ S_{ACBD} = 2.5 \cdot S_{ABC} \] שטח המרובע מורכב מסכום שטחי שני המשולשים המרכיבים אותו: \[ S_{ACBD} = S_{DBA} + S_{ABC} \] נציב זאת במשוואה: \[ S_{DBA} + S_{ABC} = 2.5 \cdot S_{ABC} \implies S_{DBA} = 1.5 \cdot S_{ABC} \] מכאן שיחס השטחים של המשולשים הדומים הוא: \[ \frac{S_{DBA}}{S_{BAC}} = 1.5 = \frac{3}{2} \] אנו יודעים שיחס השטחים במשולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון. נסמן את יחס הדמיון (יחס הצלעות המתאימות) ב-$ k $: \[ k^2 = 1.5 \implies k = \sqrt{1.5} \] מתוך סדר הקודקודים בדמיון $ \Delta DBA \sim \Delta BAC $, יחס הצלעות המתאימות הוא: \[ \frac{DB}{BA} = \frac{BA}{AC} = k \] אנו נדרשים למצוא את היחס $ \frac{AC}{DB} $. נשתמש במכפלת היחסים שמצאנו בהופכי: \[ \frac{AC}{BA} = \frac{1}{k} \quad , \quad \frac{BA}{DB} = \frac{1}{k} \] \[ \frac{AC}{DB} = \frac{AC}{BA} \cdot \frac{BA}{DB} = \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{k} = \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} \]

מושגים: יחס שטחים של משולשים דומים

שלב 4: סעיף ג': חישוב אורך $ DB $

נתון כי $ BC = \sqrt{10} $ ס"מ. במשולש ישר הזווית $ \Delta ABC $ מתקיים משפט פיתגורס: \[ BA^2 + AC^2 = BC^2 = (\sqrt{10})^2 = 10 \] נבטא את $ BA $ ואת $ AC $ בעזרת $ DB $, בהתבסס על יחסי הדמיון מסעיף ב': מצאנו כי $ \frac{AC}{DB} = \frac{2}{3} $, ולכן: $ AC = \frac{2}{3}DB $. כפועל יוצא, $ AC^2 = \frac{4}{9}DB^2 $. מתוך הדמיון ידוע ש- $ BA^2 = AC \cdot DB $ (נובע מ- $ \frac{DB}{BA} = \frac{BA}{AC} $). נציב את $ AC $ במשוואת $ BA^2 $: \[ BA^2 = \left(\frac{2}{3}DB\right) \cdot DB = \frac{2}{3}DB^2 \] כעת נציב את $ BA^2 $ ואת $ AC^2 $ במשפט פיתגורס שכתבנו: \[ \frac{2}{3}DB^2 + \frac{4}{9}DB^2 = 10 \] נכנה משותף ($ 9 $): \[ \frac{6}{9}DB^2 + \frac{4}{9}DB^2 = 10 \] \[ \frac{10}{9}DB^2 = 10 \] נצמצם ב-10 ונקבל: \[ DB^2 = 9 \implies DB = 3 \]

מושגים: משפט פיתגורס, הצבת יחסי דמיון

תשובה סופית

התשובה הסופית: א. (1) ו-(2) הוכחות מפורטות בפתרון. ב. יחס הצלעות: $ \frac{AC}{DB} = \frac{2}{3} $ ג. אורך הקטע: $ DB = 3 $ ס"מ.

חזרה לקטלוג

#232גיאומטריה

מעגלים משיקים ודמיון משולשים

קראו את השאלה

שאלה

לפניך שני מעגלים שמרכזיהם $O_1$ ו- $O_2$ המשיקים זה לזה מבחוץ. הנקודה $A$ היא נקודת ההשקה של שני המעגלים. הנקודות $B$ ו- $C$ הן נקודות ההשקה של המעגלים עם המשיק המשותף $BC$ (ראה שרטוט). $AD$ קוטר המעגל שמרכזו $O_2$ .

א. (1) הוכח: $BA \perp AC$ . א. (2) הוכח: $\Delta BAC \sim \Delta DBA$ . נתון: שטח המרובע $ACBD$ גדול פי $2.5$ משטח המשולש $ABC$ . ב. חשב את היחס $\frac{AC}{DB}$ . נתון: $BC = \sqrt{10}$ ס"מ. ג. חשב את $DB$ .