גיאומטריה · משולשים ומרובעים

השאלה

$ BE $ ו-$ AD $ הם תיכונים במשולש $ ABC $ הנפגשים בנקודה $ F $. נתון: $ BF = GF $. 1. הוכיחו: המרובע $ AGCF $ הוא מקבילית. 2. המשך קטע $ CF $ חותך את הצלע $ AB $ בנקודה $ K $. הוכיחו: המרובע $ KECB $ הוא טרפז. 3. מהו היחס: $ \frac{S_{\triangle KEB}}{S_{KECB}} $ ?

הטיפ של עובד

בשאלות שמשלבות מרובעים עם מפגש תיכונים, המשפט החשוב ביותר הוא שנקודת המפגש מחלקת כל תיכון ביחס של 1:2. תכונה זו עוזרת לנו להוכיח חציית אלכסונים בקלות (בסעיף א'). בנוסף, זכרו שקטע היוצא מקודקוד המשולש ועובר דרך מפגש התיכונים, הוא בהכרח התיכון השלישי! זהו המפתח לזיהוי קטע האמצעים בסעיף ב'.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: הוכחת המקבילית AGCF

נתון כי $ AD $ ו-$ BE $ הם תיכונים הנפגשים בנקודה $ F $. מכאן ש-$ F $ היא נקודת מפגש התיכונים במשולש $ ABC $. על פי משפט מפגש התיכונים, הנקודה מחלקת כל תיכון ביחס של 1:2 (כאשר החלק הקרוב לקודקוד גדול פי 2). לכן מתקיים: \[ BF = 2FE \] על פי הנתון בשאלה, ידוע לנו כי $ BF = GF $. אם נציב זאת למשוואה הקודמת, נקבל: \[ GF = 2FE \] היות והנקודות $ G, E, F $ נמצאות כולן על אותו ישר (המשך התיכון), המשמעות היא שהנקודה $ E $ נמצאת בדיוק באמצע הקטע $ FG $. כלומר: \[ FE = EG \] בנוסף, כיוון ש-$ BE $ הוא תיכון, הנקודה $ E $ היא אמצע הצלע $ AC $. לכן: \[ AE = EC \] נסתכל על המרובע $ AGCF $. ראינו כי האלכסונים שלו, $ AC $ ו-$ FG $, חוצים זה את זה בדיוק בנקודה $ E $. מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא בהכרח מקבילית. מ.ש.ל סעיף 1.

מושגים: מפגש תיכונים במשולש, תכונות מרובעים

שלב 2: הוכחת הטרפז KECB

בסעיף זה המשכנו את הקטע $ CF $ עד שפגע בצלע $ AB $ בנקודה $ K $. כיוון שהקטע $ CK $ יוצא מקודקוד ועובר דרך נקודת מפגש התיכונים $ F $, הוא חייב להיות התיכון השלישי של המשולש $ ABC $. מכאן נובע שהנקודה $ K $ היא אמצע הצלע $ AB $. נסתכל על המשולש $ ABC $. הקטע $ KE $ מחבר את אמצע הצלע $ AB $ (הנקודה $ K $) עם אמצע הצלע $ AC $ (הנקודה $ E $). קטע המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש הוא קטע אמצעים. תכונתו של קטע אמצעים היא שהוא מקביל לצלע השלישית (ושווה למחציתה). לכן: \[ KE \parallel BC \] במרובע $ KECB $ מצאנו זוג צלעות אחד מקביל ($ KE \parallel BC $). הזוג השני של הצלעות, $ KB $ ו-$ EC $, נמצאות על ישרים הנפגשים בקודקוד $ A $, ולכן הן אינן מקבילות. מרובע בעל זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות הוא טרפז. מ.ש.ל סעיף 2.

מושגים: תכונות מרובעים

שלב 3: חישוב יחס השטחים

כדי לפשט את החישוב, נסמן את שטחו של המשולש הגדול ב-$ S $, כלומר: $ S_{\triangle ABC} = S $. חישוב שטח המשולש $ \triangle KEB $: התיכון $ BE $ מחלק את המשולש הגדול לשני משולשים שווי שטח. לכן שטחו של המשולש $ \triangle ABE $ הוא $ \frac{1}{2}S $. בתוך משולש $ \triangle ABE $, הקטע $ KE $ הוא תיכון (כיוון ש-$ K $ אמצע $ AB $). גם תיכון זה מחלק את המשולש לשניים, ולכן שטחו של משולש $ \triangle KEB $ הוא מחצית משטחו של $ \triangle ABE $: \[ S_{\triangle KEB} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}S) = \frac{1}{4}S \] חישוב שטח הטרפז $ KECB $: במשולש הגדול $ ABC $, כיוון ש-$ KE $ הוא קטע אמצעים, המשולש הקטן $ \triangle AKE $ דומה למשולש הגדול ביחס דמיון של 1:2. יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון, כלומר 1:4. מכאן ששטחו של המשולש $ \triangle AKE $ הוא $ \frac{1}{4}S $. שטח הטרפז $ KECB $ מורכב משטח המשולש הגדול פחות שטח המשולש $ AKE $: \[ S_{KECB} = S - \frac{1}{4}S = \frac{3}{4}S \] היחס המבוקש: כעת נחשב את היחס בין שני השטחים שמצאנו: \[ \frac{S_{\triangle KEB}}{S_{KECB}} = \frac{\frac{1}{4}S}{\frac{3}{4}S} = \frac{1}{3} \] התשובה הסופית היא: $ \frac{1}{3} $

מושגים: יחסי שטחים

תשובה סופית

התשובה הסופית: 1. הוכחה. 2. הוכחה. 3. $ \frac{1}{3} $

חזרה לקטלוג

#137גיאומטריה

משולשים ומרובעים

קראו את השאלה

שאלה

$BE$ ו- $AD$ הם תיכונים במשולש $ABC$ הנפגשים בנקודה $F$ . נתון: $BF = GF$ . 1. הוכיחו: המרובע $AGCF$ הוא מקבילית. 2. המשך קטע $CF$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $K$ . הוכיחו: המרובע $KECB$ הוא טרפז. 3. מהו היחס: $\frac{S_{\triangle KEB}}{S_{KECB}}$ ?