גיאומטריה · חפיפת משולשים

שלב 1: סעיף א' - חפיפת משולשים

כדי להוכיח ש- \( AD = CE \), נוכיח שהמשולשים \( \triangle ABD \) ו- \( \triangle CBE \) חופפים. נאסוף את הנתונים לחפיפה לפי משפט צלע-זווית-צלע (צ.ז.צ): 1. \( AB = CB \) (צלעות שוות במשולש שווה הצלעות \( \triangle ABC \)). 2. \( BD = BE \) (צלעות שוות במשולש שווה הצלעות \( \triangle BDE \)). 3. \( \measuredangle ABD = \measuredangle CBE = 60^\circ \). הסבר: \( \measuredangle ABD \) היא זווית פנימית במשולש שווה הצלעות \( ABC \) ולכן שווה ל-60 מעלות. בדומה, הנקודה \( D \) מונחת על הצלע \( BC \) ולכן \( \measuredangle CBE \) היא למעשה הזווית \( \measuredangle DBE \), שהיא זווית פנימית במשולש שווה הצלעות \( BDE \) ולכן גם היא שווה ל-60 מעלות. מכאן שהמשולשים חופפים: \triangle ABD \cong \triangle CBE מהחפיפה נובע שוויון הצלעות המתאימות: \( AD = CE \). (מ.ש.ל א')

מושגים: משולש שווה צלעות, חפיפת משולשים (צ.ז.צ)

שלב 2: סעיף ב' (שלב 1) - איסוף זוויות מהחפיפה

מהחפיפה שהוכחנו בסעיף א', נובע גם שוויון של הזוויות המתאימות במשולשים: \measuredangle BAD = \measuredangle BCE כדי שיהיה קל וברור יותר להמשך, נסמן את הזווית הזו באות \( \alpha \): \measuredangle BAD = \alpha \quad , \quad \measuredangle BCE = \alpha

שלב 3: סעיף ב' (שלב 2) - חישוב זוויות סביב הנקודה D

נתבונן ב-\( \triangle ABD \). סכום הזוויות במשולש הוא \( 180^\circ \). אנו יודעים ש- \( \measuredangle ABD = 60^\circ \) וסימנו \( \measuredangle BAD = \alpha \). לכן הזווית השלישית תהיה: \measuredangle BDA = 180^\circ - 60^\circ - \alpha = 120^\circ - \alpha כעת נסתכל על נקודת החיתוך \( D \). הישרים \( AF \) ו-\( BC \) נחתכים בה (שהרי נתון ש-\( F \) היא על המשך \( AD \)). הזוויות \( \measuredangle BDA \) ו- \( \measuredangle CDF \) הן זוויות קודקודיות, ולכן הן שוות זו לזו: \measuredangle CDF = \measuredangle BDA = 120^\circ - \alpha

מושגים: זוויות קודקודיות

שלב 4: סעיף ב' (שלב 3) - סגירת המעגל במשולש \(\triangle CDF\)

כעת נתבונן במשולש הקטן \( \triangle CDF \) שבו נמצאת הזווית שאנו מחפשים. יש לנו שתי זוויות בתוך המשולש הזה מתוך השלבים הקודמים: 1. \( \measuredangle FCD \) היא למעשה הזווית \( \measuredangle BCE \), שסימנו כ- \( \alpha \). 2. \( \measuredangle CDF \) שמצאנו כרגע כ- \( 120^\circ - \alpha \). מכיוון שסכום הזוויות ב-\( \triangle CDF \) הוא \( 180^\circ \), נוכל לחשב את הזווית השלישית \( \measuredangle DFC \): \measuredangle DFC = 180^\circ - \measuredangle CDF - \measuredangle FCD \\ \measuredangle DFC = 180^\circ - (120^\circ - \alpha) - \alpha \\ \measuredangle DFC = 180^\circ - 120^\circ + \alpha - \alpha \\ \measuredangle DFC = 60^\circ הנקודות \( A, D, F \) נמצאות על אותו ישר, ולכן הזווית \( \measuredangle AFC \) היא בעצם הזווית \( \measuredangle DFC \). \( \measuredangle AFC = 60^\circ \). (מ.ש.ל ב')