חזרה לקטלוג
#262גיאומטריה
מרובע חסום במעגל וזוויותקראו את השאלה
שאלה
המרובע חסום במעגל. הנקודה נמצאת על הקשת . המשכי המיתרים ו- נפגשים בנקודה . נתון: . א. הוכח: . ב. נתון: , . חשב את הזווית .
גיאומטריה · מרובע חסום במעגל וזוויות
השאלה
המרובע $ABCD$ חסום במעגל. הנקודה $E$ נמצאת על הקשת $DC$. המשכי המיתרים $AD$ ו- $CE$ נפגשים בנקודה $F$. נתון: $CF \parallel AB$. א. הוכח: $\angle AFC = \angle BCD$. ב. נתון: $\angle DCF = 21^\circ$ , $\angle BAD = 115^\circ$. חשב את הזווית $ABC$.
הטיפ של עובד
הסוד של מרובע חסום במעגל: במרובע שחסום במעגל, סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא תמיד $180^\circ$. זהו נתון סמוי שכמעט תמיד מהווה את המפתח לפתרון – פשוט חפשו את הזוויות שמולן ורשמו את המשוואה. ישרים מקבילים = העברת זוויות: ברגע שאתם רואים ישרים מקבילים (כמו $AB \parallel CF$), חפשו מיד את הישר החותך אותם ($AF$). במקרה שלנו נוצרות זוויות חד-צדדיות (בתוך ה-"U") שסכומן הוא $180^\circ$. זווית חיצונית למשולש - כלי מנצח: בסעיף ב', במקום למצוא את הזווית השלישית במשולש ולעשות $180^\circ - x$, תמיד כדאי לזכור: הזווית החיצונית למשולש (כמו $\angle ADC$) שווה בדיוק לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. זה חוסך שלב ומקטין סיכוי לטעות חישוב!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א': הוכחת שוויון הזוויות $\angle AFC = \angle BCD$
נתחיל מניתוח הנתונים שבשאלה ונרשום את המסקנות הנובעות מהם: 1. נתון שמרובע $ABCD$ חסום במעגל: על פי המשפט הגיאומטרי - במרובע החסום במעגל, סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$. לכן נוכל לכתוב: $$ \angle DAB + \angle BCD = 180^\circ $$ 2. נתון כי הישרים מקבילים $AB \parallel CF$: הישר $AF$ חותך את שני הישרים המקבילים. הזוויות $\angle FAB$ ו-$\angle AFC$ הן זוויות חד-צדדיות (נמצאות בין המקבילים ומאותו צד של החותך). סכום זוויות חד-צדדיות בין ישרים מקבילים הוא $180^\circ$. לכן: $$ \angle FAB + \angle AFC = 180^\circ $$ 3. זיהוי זווית משותפת: הנקודות $F, D, A$ נמצאות כולן על אותו ישר (שהרי $F$ נמצאת על המשך $AD$). מכאן ש- $\angle FAB$ ו- $\angle DAB$ הן בדיוק אותה הזווית. 4. הסקת המסקנה (כלל המעבר): נשווה את שתי המשוואות שקיבלנו (כיוון ששני הסכומים שווים ל-$180^\circ$): $$ \angle DAB + \angle BCD = \angle DAB + \angle AFC $$ נחסר את $\angle DAB$ משני אגפי המשוואה, ונקבל: $$ \angle BCD = \angle AFC $$ מ.ש.ל (א')
מושגים: מרובע חסום במעגל, זוויות חד-צדדיות, כלל המעבר
שלב 2: סעיף ב': חישוב הזווית $\angle ABC$
1. מציאת זווית $\angle BCD$: נתון כי $\angle BAD = 115^\circ$ (נזכור שזוהי הזווית $\angle DAB$). השתמשנו כבר במשפט של מרובע חסום במעגל ($\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$), ולכן נוכל למצוא את $\angle BCD$: $$ \angle BCD = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ $$ 2. מציאת זווית $\angle AFC$: על סמך ההוכחה מסעיף א' ($\angle AFC = \angle BCD$), נובע מיד ש: $$ \angle AFC = 65^\circ $$ 3. שימוש במשולש $\Delta FDC$: נסתכל על המשולש $FDC$ בשרטוט. הזווית $\angle ADC$ ממוקמת מחוץ למשולש, והיא למעשה זווית חיצונית למשולש $FDC$ בקודקוד $D$. משפט גיאומטרי קובע: זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. לכן: $$ \angle ADC = \angle DFC + \angle DCF $$ נציב את הנתון $\angle DCF = 21^\circ$ ואת מה שמצאנו $\angle DFC = 65^\circ$ (שכן $\angle DFC$ ו- $\angle AFC$ הן אותה הזווית): $$ \angle ADC = 65^\circ + 21^\circ = 86^\circ $$ 4. מציאת הזווית המבוקשת $\angle ABC$: נחזור שוב למרובע החסום במעגל $ABCD$. גם הזוג השני של הזוויות הנגדיות במרובע חסום מסתכם ב-$180^\circ$. לכן: $$ \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ $$ נציב את הזווית שמצאנו: $$ \angle ABC + 86^\circ = 180^\circ $$ $$ \angle ABC = 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ $$ זווית ADC מחושבת כזווית חיצונית למשולש FDC, ומהווה את הזווית הנגדית למבוקש במרובע החסום.
מושגים: זווית חיצונית למשולש, זוויות נגדיות במרובע חסום
תשובה סופית
התשובה הסופית: א. ההוכחה הושלמה בסעיף המודרך. ב. $\angle ABC = 94^\circ$