חזרה לקטלוג
#263גיאומטריה
מעגל ומרובע בר חסימהקראו את השאלה
שאלה
(מרובע חסום במעגל) המשולש הוא ישר זווית (). הנקודות ו- נמצאות על הצלעות ו- בהתאמה, כך ש- . א. הוכח: המרובע בר חסימה במעגל. ב. נתון: . חשב את הרדיוס של המעגל שבסעיף א'.
גיאומטריה · מעגל ומרובע בר חסימה
השאלה
(מרובע חסום במעגל) המשולש $ABC$ הוא ישר זווית ($AB \perp BC$). הנקודות $D$ ו-$E$ נמצאות על הצלעות $AC$ ו-$AB$ בהתאמה, כך ש- $AC \perp DE$. א. הוכח: המרובע $DCBE$ בר חסימה במעגל. ב. נתון: $8 \text{ cm} = CE$. חשב את הרדיוס של המעגל שבסעיף א'.
הטיפ של עובד
זיהוי מהיר של מרובע בר חסימה: איך יודעים שמרובע הוא בר חסימה (שאפשר לחסום אותו במעגל)? פשוט מחפשים שתי זוויות נגדיות שסכומן הוא $180^\circ$. בשאלה הזו, הנתונים על האנכים זועקים שיש לנו כאן שתי זוויות של $90^\circ$ בדיוק אחת מול השנייה. זווית ישרה במעגל = קוטר: ברגע שהוכחתם שמרובע שזוויתו $90^\circ$ חסום במעגל, הזווית הזו הופכת לזווית היקפית הנשענת על קוטר! במילים אחרות, המיתר שמול הזווית הישרה (האלכסון של המרובע) הוא קוטר המעגל החוסם. המעבר מהוכחה לחישוב: סעיף ב' כמעט ולא דורש חישוב. מרגע שהבנתם ש-$CE$ מונח מול זווית של $90^\circ$, אתם מסיקים ש-$CE$ הוא הקוטר. מכאן הרדיוס הוא פשוט החצי שלו! קלאסיקה של חיסכון בזמן.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א': הוכחה שהמרובע בר חסימה
עלינו להוכיח שהמרובע $DCBE$ בר חסימה במעגל. המשפט הגיאומטרי קובע: מרובע הוא בר חסימה במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות בו הוא $180^\circ$. 1. נתון 1: המשולש $ABC$ הוא ישר זווית ($AB \perp BC$). לכן, הזווית בקודקוד $B$ היא זווית ישרה: $$ \angle EBC = 90^\circ $$ 2. נתון 2: הנקודות $D$ ו-$E$ יוצרות אנך לצלע $AC$ ($AC \perp DE$). לכן, הזווית שנוצרת בקודקוד $D$ פנימה אל תוך המרובע היא זווית ישרה: $$ \angle EDC = 90^\circ $$ 3. סכום זוויות נגדיות במרובע $DCBE$: נסכום את שתי הזוויות הנגדיות שמצאנו ($\angle EBC$ ו- $\angle EDC$): $$ \angle EBC + \angle EDC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $$ 4. מסקנה: מכיוון שסכום זוויות נגדיות במרובע $DCBE$ שווה ל-$180^\circ$, המרובע בר חסימה במעגל. מ.ש.ל (א').
מושגים: מרובע בר חסימה, סכום זוויות נגדיות
שלב 2: סעיף ב': מציאת רדיוס המעגל החוסם
בסעיף הקודם הוכחנו כי המרובע $DCBE$ יכול להיחסם במעגל (בר חסימה). נדמיין את המעגל החוסם את המרובע הזה. במעגל זה, הזווית $\angle EBC$ (כמו גם $\angle EDC$) היא זווית היקפית. משפט המפתח: זווית היקפית במעגל בת $90^\circ$ נשענת תמיד על קוטר המעגל. הזווית $\angle EBC = 90^\circ$ נשענת על המיתר $CE$. לכן, הקטע $CE$ אינו סתם אלכסון של המרובע – הוא חייב להיות קוטר המעגל החוסם! $$ 2R = CE $$ נתון בשאלה כי אורך הקטע $CE$ הוא 8 ס"מ. נציב במשוואה: $$ 2R = 8 \implies R = \frac{8}{2} $$ $$ R = 4 \text{ cm} $$ המעגל החוסם את מרובע $DCBE$. הקודקודים שבהם הזווית היא $90^\circ$ נשענים כולם על הקוטר (הקטע האדום $CE$).
מושגים: זווית היקפית שווה ל-90 מעלות, קוטר המעגל
תשובה סופית
התשובה הסופית: א. הוכח כי הסכום של זוויות נגדיות הוא $180^\circ$ (הוכחה מלאה בפתרון המודרך). ב. $R = 4$ ס"מ.