גיאומטריה במישור · משולשים במעגל (5 יח"ל)

השאלה

המשולשים $ABC$ ו- $ADE$ חסומים במעגל שקוטרו $AE$ , כך שהמיתרים $AD$ ו- $BC$ ניצבים זה לזה. א. הוכיחו: $BC \parallel DE$. ב. הוכיחו: $\sphericalangle BAE = \sphericalangle CAD$. ג. נתון: $C$ אמצע הקשת $\widehat{ACD}$. הוכיחו: $DE = 2 \cdot NM$.

הטיפ של עובד

הטיפ של עובד: כשנתון לכם שמופיע קוטר במעגל, המוח שלכם צריך ישר לקפוץ למשפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל-90 מעלות. חפשו או שרטטו אותה! בסעיף ג', כדאי לזכור שקו שמהווה גם גובה וגם תיכון מעיד על משולש שווה שוקיים - זה המפתח למציאת אמצע צלע עבור משפט קטע אמצעים.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א': הוכחת הקבלת הישרים $BC \parallel DE$

נשתמש בתכונות הקוטר והנתון על הניצבות כדי להוכיח הקבלה. 1. $AE$ הוא קוטר במעגל. (נתון) 2. $\sphericalangle ADE = 90^\circ$. (זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל-$90^\circ$) 3. לכן, $AD \perp DE$. (נובע מסעיף 2) 4. נתון כי המיתרים ניצבים: $AD \perp BC$. (נתון) 5. לכן: $BC \parallel DE$. (שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה) מ.ש.ל א'

מושגים: זווית היקפית הנשענת על קוטר

שלב 2: סעיף ב': הוכחת שוויון הזוויות $\sphericalangle BAE = \sphericalangle CAD$

ננצל את ההקבלה שהוכחנו הרגע כדי להסיק על קשתות וזוויות. 1. $BC \parallel DE$. (הוכח בסעיף א') 2. $\widehat{BE} = \widehat{CD}$. (מיתרים מקבילים במעגל כולאים ביניהם קשתות שוות) 3. $\sphericalangle BAE = \sphericalangle CAD$. (זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות במעגל, שוות ביניהן) מ.ש.ל ב'

מושגים: מיתרים מקבילים וקשתות

שלב 3: סעיף ג': הוכחת היחס $DE = 2 \cdot NM$

הקשר המיוחד הזה מרמז על קטע אמצעים במשולש. נצטרך להראות ש-$NM$ יוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע שלישית במשולש $\triangle ADE$. 1. הנקודה $C$ היא אמצע הקשת $\widehat{ACD}$, כלומר: $\widehat{AC} = \widehat{CD}$. (נתון) 2. מכאן שמיתרים השווים לקשתות אלו שווים גם הם: $AC = CD$. (במעגל, קשתות שוות מתאימות למיתרים שווים) 3. לכן, משולש $\triangle ACD$ הוא משולש שווה שוקיים. (משולש בעל שתי צלעות שוות) 4. נתון כי $BC \perp AD$. כיוון ש-$M$ היא נקודת החיתוך, $CM$ הוא גובה לצלע $AD$ במשולש $\triangle ACD$. (על סמך הנתון המקורי) 5. הקטע $CM$ הוא גם תיכון: $AM = MD$. (במשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון לבסיס. לכן $M$ היא אמצע $AD$) 6. נתבונן במשולש $\triangle ADE$. הוכחנו כי $BC \parallel DE$, ולכן החלק ממנו מקיים: $NM \parallel DE$. (חלקים של קטעים מקבילים) 7. לכן הקטע $NM$ הוא קטע אמצעים במשולש $\triangle ADE$. (המשפט ההפוך לקטע אמצעים) 8. $NM = \frac{1}{2} \cdot DE \Rightarrow DE = 2 \cdot NM$. (קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית לה הוא מקביל) מ.ש.ל ג'

מושגים: קטע אמצעים ממשולש שווה שוקיים

תשובה סופית

התשובה הסופית: א. הוכחה (מתבססת על כך ששני ישרים המאונכים לאותו ישר – מקבילים זה לזה). ב. הוכחה (מתבססת על העובדה שמיתרים מקבילים כולאים קשתות שוות, שעליהן נשענות זוויות היקפיות שוות). ג. הוכחה (מתבססת על זיהוי המשולש שווה השוקיים $\triangle ACD$, הוכחת הנקודה $M$ כאמצע קטע, וזיהוי קטע האמצעים $NM$ במשולש $\triangle ADE$).

חזרה לקטלוג

#169גיאומטריה במישור

משולשים במעגל (5 יח"ל)

קראו את השאלה

שאלה

המשולשים $ABC$ ו- $ADE$ חסומים במעגל שקוטרו $AE$ , כך שהמיתרים $AD$ ו- $BC$ ניצבים זה לזה. א. הוכיחו: $BC \parallel DE$ . ב. הוכיחו: $\sphericalangle BAE = \sphericalangle CAD$ . ג. נתון: $C$ אמצע הקשת $\widehat{ACD}$ . הוכיחו: $DE = 2 \cdot NM$ .