מתמטיקה · גיאומטריה

שלב 1: סעיף א': דמיון משולשים

נוכיח כי \(\triangle ACD \sim \triangle ABC\) בעזרת משפט דמיון ז.ז: 1. זווית \(\angle A\) היא זווית משותפת לשני המשולשים. 2. \(AC\) משיק למעגל בנקודה C, ו-\(CD\) הוא מיתר. על פי המשפט זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצידו השני, נקבל: \(\angle ACD = \angle ABC\). מכאן נובע כי \(\triangle ACD \sim \triangle ABC\) (ז.ז).

שלב 2: סעיף ב': חישוב צלעות (משפט חותך ומשיק)

כדי למצוא את אורך הקטע \(AC\), נשתמש במשפט חותך ומשיק (ריבוע המשיק שווה למכפלת החותך בחלקו החיצוני): \[ AC^2 = AB \cdot AD \] לשם כך, נחשב תחילה את אורך \(AB\): הישר המחבר את \(B, O, D, A\) הוא קו ישר אחד (חותך למעגל שעובר דרך המרכז). לכן: \(AB = AD + DO + OB\). מכיוון ש-\(DO\) ו-\(OB\) הם רדיוסים, הרי ש- \(DO = R\) ו- \(OB = R\). נציב את הנתון \(AD = \frac{2R}{3}\) ונקבל: \[ AB = \frac{2R}{3} + R + R = \frac{2R}{3} + 2R = \frac{8R}{3} \] כעת, נחזור למשפט החותך והמשיק ונציב את הערכים שמצאנו: \[ AC^2 = \frac{8R}{3} \cdot \frac{2R}{3} = \frac{16R^2}{9} \] נוציא שורש ונקבל: \[ AC = \frac{4R}{3} \] הערה: ניתן גם להגיע לאותה תוצאה ישירות מיחסי הדמיון שהוכחנו בסעיף א'.

שלב 3: סעיף ג': דמיון נוסף ואורכי משיקים

(1) הוכחת הדמיון \(\triangle ADE \sim \triangle ACO\): - זווית \(\angle A\) משותפת לשני המשולשים. - \(AC\) משיק למעגל ב-\(C\), לכן הוא מאונך לרדיוס \(OC\). מכאן: \(\angle ACO = 90^\circ\). - \(DE\) משיק למעגל ב-\(D\), לכן הוא מאונך לרדיוס \(OD\). כיוון ש-\(A,D,O\) על אותו ישר, \(DE\) מאונך גם ל-\(AD\). מכאן: \(\angle ADE = 90^\circ\). קיבלנו שתי זוויות שוות, ולכן \(\triangle ADE \sim \triangle ACO\) (ז.ז). (2) מציאת אורך \(CE\): נשתמש ביחס הדמיון שהוכחנו: \( \frac{DE}{CO} = \frac{AD}{AC} \). נציב את הנתונים שמצאנו קודם (\(AD = \frac{2R}{3}\), \(AC = \frac{4R}{3}\), \(CO = R\)): \[ \frac{DE}{R} = \frac{\frac{2R}{3}}{\frac{4R}{3}} = \frac{1}{2} \] מכאן נובע: \(DE = \frac{R}{2}\). כעת, שימו לב לקסם גיאומטרי: מנקודה \(E\) יוצאים שני משיקים למעגל, לנקודות \(C\) ו-\(D\). על פי משפט, שני משיקים היוצאים מאותה נקודה מחוץ למעגל שווים זה לזה! לכן: \(CE = DE = \frac{R}{2}\).

מושגים: משפטי משיקים

שלב 4: סעיף ד': יחסי שטחים

(1) שטח המשולש \(ADE\): נתבונן במשולשים \(\triangle ADE\) ו-\(\triangle CDE\). לשני המשולשים הללו יש קודקוד משותף (\(D\)) והם נשענים על אותו ישר (\(AC\)). לכן יש להם אותו גובה (היורד מ-\(D\) ל-\(AC\)). היחס בין השטחים של משולשים בעלי גובה שווה, שווה ליחס הבסיסים שלהם: \[ \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle CDE}} = \frac{AE}{CE} \] כדי למצוא את \(AE\), נחסר מהצלע השלמה \(AC\) את הקטע \(CE\): \[ AE = AC - CE = \frac{4R}{3} - \frac{R}{2} = \frac{8R}{6} - \frac{3R}{6} = \frac{5R}{6} \] כעת נחשב את יחס הבסיסים: \(\frac{AE}{CE} = \frac{5R/6}{R/2} = \frac{5}{3}\). נציב את הנתון \(S_{\triangle CDE} = 3\) ליחס השטחים: \[ \frac{S_{\triangle ADE}}{3} = \frac{5}{3} \quad \Rightarrow \quad S_{\triangle ADE} = 5 \] (2) שטח המשולש \(ABC\): בסעיף א' הוכחנו כי \(\triangle ACD \sim \triangle ABC\). יחס הדמיון ביניהם הוא היחס בין הצלעות המתאימות: \(\frac{AD}{AC} = \frac{2R/3}{4R/3} = \frac{1}{2}\). על פי משפט, יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון: \[ \frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] השטח של המשולש הקטן \(ACD\) מורכב מסכום שני השטחים שכבר מצאנו: \[ S_{\triangle ACD} = S_{\triangle ADE} + S_{\triangle CDE} = 5 + 3 = 8 \] נציב ביחס השטחים ונמצא את שטח המשולש הגדול: \[ \frac{8}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad S_{\triangle ABC} = 32 \]

מושגים: יחס שטחים על בסיס משותף, יחס שטחים במשולשים דומים