גיאומטריה · מעגל ודמיון משולשים

שלב 1: מציאת הזוויות הישרות בשרטוט

כדי להוכיח יחסי צלעות, נחפש משולשים דומים. לשם כך נאסוף את כל הזוויות הישרות (90 מעלות) שיש לנו: 1. נתון ש- \( PA \) משיק למעגל בנקודה \( A \). רדיוס המעגל \( OA \) מאונך למשיק בנקודת ההשקה. לכן: \( \angle OAP = 90^\circ \). 2. נתון ש- \( PQ \) הוא תיכון לצלע \( AB \). המשמעות היא ש- \( Q \) היא אמצע המיתר \( AB \). קטע ממרכז המעגל אל אמצע המיתר מאונך למיתר. לכן: \( \angle OQA = 90^\circ \). 3. בנוסף, נתון לנו במפורש ש- \( AB \perp BP \), ולכן הזווית \( \angle PBA = 90^\circ \). שמנו לב שקיבלנו שני משולשים ישרי זווית: המשולש \( \Delta OQA \) והמשולש \( \Delta PBA \).

מושגים: תכונות המשיק והמיתר

שלב 2: הוכחת דמיון משולשים ΔOQA ~ ΔPBA

נסמן את הזווית \( \angle OAQ \) באות \( \alpha \). ראינו בשלב הקודם שהזווית כולה, \( \angle OAP \), שווה ל-90 מעלות. מכאן נובע שהזווית שנותרה במשולש הגדול היא משלימה לה ל-90: \( \angle PAB = 90^\circ - \alpha \). כעת נסתכל על המשולש ישר הזווית \( \Delta PBA \) (שבו זווית B שווה 90). סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות, ולכן הזווית השלישית תהיה: \( \angle APB = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha \). סיכום הזוויות: במשולש \( \Delta OQA \): הזווית ב-Q היא 90, הזווית ב-A היא \( \alpha \). במשולש \( \Delta PBA \): הזווית ב-B היא 90, הזווית ב-P היא \( \alpha \). מכיוון שמצאנו שתי זוגות של זוויות שוות, המשולשים דומים לפי משפט ז.ז: \( \Delta OQA \sim \Delta PBA \).

מושגים: דמיון משולשים ישרי זווית

שלב 3: הוכחת יחס הצלעות (סעיף א')

מהדמיון שהוכחנו, נובע יחס הצלעות הבא (צלע מול צלע בהתאמה לזוויות): \[ \frac{OQ}{AB} = \frac{AQ}{BP} \] נכפול בהצלבה ונקבל: \[ OQ \cdot BP = AQ \cdot AB \] נזכור ש- \( Q \) היא אמצע הקטע \( AB \) (בגלל התיכון). ולכן הצלע כולה \( AB \) שווה לפעמיים \( AQ \) (כלומר: \( AB = 2AQ \)). נציב זאת במשוואה: \[ OQ \cdot BP = AQ \cdot 2AQ \] \[ OQ \cdot BP = 2AQ^2 \] נחלק את שני האגפים ב- \( AQ^2 \) ונגיע בדיוק לביטוי המבוקש: \[ \frac{OQ \cdot BP}{AQ^2} = 2 \] (מ.ש.ל א')

שלב 4: הוכחת סעיף ב' בעזרת משפט פיתגורס

נתבונן במשולש ישר הזווית \( \Delta OQA \) (זווית Q שווה 90). לפי משפט פיתגורס מתקיים: \[ OA^2 = OQ^2 + AQ^2 \] הצלע \( OA \) היא רדיוס המעגל, ולכן אפשר להציב \( OA = R \): \[ R^2 = OQ^2 + AQ^2 \] נכפול את כל המשוואה פי 2 כדי להתקרב לביטוי שאנחנו צריכים להוכיח: \[ 2R^2 = 2OQ^2 + 2AQ^2 \] בסעיף א' מצאנו שמתקיים: \( 2AQ^2 = OQ \cdot BP \). ניקח את הביטוי הזה ונציב אותו בתוך המשוואה שלנו במקום \( 2AQ^2 \): \[ 2R^2 = 2OQ^2 + OQ \cdot BP \] כעת נוציא גורם משותף \( OQ \) באגף ימין: \[ 2R^2 = OQ(2OQ + BP) \] (מ.ש.ל ב')

מושגים: משפט פיתגורס והצבה