חזרה לקטלוג
#266גיאומטריה
מעגל ופרופורציותקראו את השאלה
שאלה
הנקודות ו- נמצאות על היקפו של מעגל שמרכזו . דרך הנקודה מעבירים ישר החותך את הקוטר בנקודה ואת המיתר בנקודה . נתון: ,
א. (1) הוכח: . (2) הוכח: . ב. נתון: . הוכח:
גיאומטריה · מעגל ופרופורציות
השאלה
הנקודות $A, B, C$ ו-$D$ נמצאות על היקפו של מעגל שמרכזו $O$. דרך הנקודה $A$ מעבירים ישר $AF$ החותך את הקוטר $BD$ בנקודה $G$ ואת המיתר $BC$ בנקודה $F$. נתון: $CF = FB$ , $AC \perp BD$ א. (1) הוכח: $AG = 2GF$. (2) הוכח: $\angle COB = 2 \cdot \angle ACB$. ב. נתון: $\frac{OG}{BG} = \frac{3}{2}$. הוכח: $$ \frac{S_{\Delta BGF}}{S_{\Delta COD}} = \frac{1}{5} $$
הטיפ של עובד
מפגש תיכונים כנקודת מפתח: כשאתם רואים נתון של 'נקודה אמצעית' (כמו $F$ אמצע $BC$), המוח שלכם צריך לחפש מיד תיכון נוסף! בשאלה שלנו נתון שקוטר ($BD$) מאונך למיתר ($AC$). המשפט קובע שקוטר המאונך למיתר - בהכרח חוצה אותו! פתאום מתגלה ש-$BD$ הוא תיכון נוסף במשולש $ABC$, ו-$G$ היא נקודת מפגש התיכונים! זוויות מרכזיות והיקפיות: כדי לקשר בין זווית היקפית למרכזית, חפשו על איזו קשת הן נשענות. כשקוטר מאונך למיתר הוא לא רק חוצה את המיתר, אלא גם את הקשת המתאימה לו. קשתות שוות גוררות זוויות היקפיות שוות. פשוט וקל! יחסי שטחים חכמים: בסעיף ב', אל תנסו למצוא מידות אמיתיות (בס"מ). פשוט סמנו את רדיוס המעגל ב-$R$. בטאו את כל האורכים שאתם צריכים (כמו הגובה, הבסיס) באמצעות $R$. כשתחלקו את השטחים זה בזה, ה-$R^2$ יצטמצם ותישארו עם המספר הנקי. שימוש בתכונת מפגש התיכונים שמחלק את התיכון ביחס של 2:1 הוא המפתח לבטא את הקטעים כאן.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א'(1): הוכחת יחס הקטעים $AG = 2GF$
נתמקד במשולש $\Delta ABC$: 1. נתון 1: $CF = FB$. מכאן נובע שהקטע $AF$ הוא תיכון לצלע $BC$ במשולש $\Delta ABC$. 2. נתון 2: $BD$ הוא קוטר במעגל ונתון ש- $AC \perp BD$. על פי המשפט הגיאומטרי: 'קוטר המאונך למיתר – חוצה את המיתר'. לכן, הקוטר $BD$ חוצה את הצלע $AC$. נסמן את נקודת החיתוך ביניהם ב-$E$, ונקבל $AE = EC$. 3. מכיוון ש-$AE = EC$, הקטע $BE$ (שהוא חלק מהקוטר $BD$) הוא תיכון לצלע $AC$ במשולש $\Delta ABC$. 4. הנקודה $G$ היא נקודת החיתוך של שני התיכונים: $AF$ ו-$BE$ (חלק מ-$BD$). לכן, $G$ היא נקודת מפגש התיכונים במשולש $\Delta ABC$. 5. על פי משפט: נקודת מפגש התיכונים במשולש מחלקת כל תיכון ביחס של 2:1 (כשהחלק הארוך קרוב לקודקוד). על התיכון $AF$, החלק $AG$ קרוב לקודקוד $A$, ולכן מתקיים: $$ AG = 2 \cdot GF $$ מ.ש.ל א(1)
מושגים: מפגש תיכונים, קוטר מאונך למיתר
שלב 2: סעיף א'(2): הוכחת שוויון הזוויות $\angle COB = 2 \cdot \angle ACB$
נוכיח את הקשר דרך קשתות וזוויות במעגל: 1. ראינו שהקוטר $BD$ מאונך למיתר $AC$. משפט נוסף קובע: 'קוטר המאונך למיתר, חוצה גם את הקשת המתאימה לאותו מיתר'. לכן, הקשתות שנוצרות שוות זו לזו: קשת $\widehat{AB}$ = קשת $\widehat{CB}$. 2. זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות – שוות ביניהן. הזווית ההיקפית $\angle ACB$ נשענת על קשת $\widehat{AB}$. הזווית ההיקפית $\angle CAB$ נשענת על קשת $\widehat{CB}$. לכן: $\angle ACB = \angle CAB$. 3. נסתכל על הקשת $\widehat{CB}$: הזווית המרכזית הנשענת עליה היא $\angle COB$, והזווית ההיקפית הנשענת עליה היא $\angle CAB$. זווית מרכזית שווה לפעמיים הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת: $$ \angle COB = 2 \cdot \angle CAB $$ 4. נציב את השוויון מסעיף 2 אל תוך המשוואה מסעיף 3, ונקבל מיד: $$ \angle COB = 2 \cdot \angle ACB $$ מ.ש.ל א(2)
מושגים: זווית מרכזית והיקפית, קשתות שוות
שלב 3: סעיף ב': הוכחת יחס השטחים
לצורך החישוב נסמן את רדיוס המעגל ב-$R$. לכן: $OB = OC = OD = R$. נתון: $\frac{OG}{BG} = \frac{3}{2}$. יחד עם העובדה ש- $OG + BG = OB = R$, נוכל למצוא את האורכים: $$ BG = \frac{2}{5}R = 0.4R \quad , \quad OG = \frac{3}{5}R = 0.6R $$ 1. מציאת שטח $\Delta BGF$: נזכור ש-$G$ היא נקודת מפגש התיכונים במשולש $\Delta ABC$. המרחק מהקודקוד $B$ לנקודה $G$ הוא שני שליש מאורך התיכון כולו ($BE$, כאשר $E$ היא נקודת חיתוך האלכסונים). $$ BG = \frac{2}{3} \cdot BE \implies 0.4R = \frac{2}{3} \cdot BE \implies BE = 0.6R $$ נמצא את אורך הקטע $OE$: $OE = OB - BE = R - 0.6R = 0.4R$. כעת נסתכל על המשולש ישר הזווית $\Delta OCE$ (נתון $AC \perp BD$ לכן הזווית ב-$E$ ישרה). נפעיל את משפט פיתגורס כדי למצוא את $CE$ (שהוא מחצית מ-$AC$): $$ CE^2 + OE^2 = OC^2 \implies CE^2 + (0.4R)^2 = R^2 $$ $$ CE^2 = R^2 - 0.16R^2 = 0.84R^2 \implies CE = R\sqrt{0.84} $$ שטח המשולש השלם $\Delta ABC$ (בסיס $AC = 2CE$ וגובה $BE$): $$ S_{\Delta ABC} = \frac{AC \cdot BE}{2} = \frac{2 \cdot R\sqrt{0.84} \cdot 0.6R}{2} = 0.6R^2\sqrt{0.84} $$ משפט שימושי וידוע קובע כי כל אחד מ-6 המשולשים שנוצרים על ידי שלושת התיכונים במשולש, שווה בשטחו לשישית משטח המשולש המקורי. המשולש $\Delta BGF$ הוא בדיוק אחד מהם! לכן: $$ S_{\Delta BGF} = \frac{1}{6} \cdot S_{\Delta ABC} = \frac{0.6R^2\sqrt{0.84}}{6} = 0.1R^2\sqrt{0.84} $$ 2. מציאת שטח $\Delta COD$ והיחס המבוקש: נסתכל על המשולש הקהה $\Delta COD$. נבחר את הצלע $OD$ כבסיס. האורך של הבסיס הוא פשוט הרדיוס: $OD = R$. הגובה היורד מהקודקוד $C$ אל המשך הבסיס $OD$ הוא למעשה הקטע $CE$ (שכן הראינו ש-$AC \perp BD$). את אורך $CE$ כבר חישבנו קודם: $CE = R\sqrt{0.84}$. נחשב את שטח המשולש לפי הנוסחה הקלאסית (בסיס כפול גובה חלקי 2): $$ S_{\Delta COD} = \frac{OD \cdot CE}{2} = \frac{R \cdot R\sqrt{0.84}}{2} = 0.5R^2\sqrt{0.84} $$ כעת כל שנותר הוא לחלק את שני השטחים זה בזה כדי למצוא את היחס המבוקש: $$ \frac{S_{\Delta BGF}}{S_{\Delta COD}} = \frac{0.1R^2\sqrt{0.84}}{0.5R^2\sqrt{0.84}} = \frac{0.1}{0.5} = \frac{1}{5} $$ מ.ש.ל (ב') - היחס הוא בדיוק 1:5 כנדרש!
מושגים: יחסי שטחים, חישוב שטח באמצעות פרמטר
תשובה סופית
התשובה הסופית: א. הוכחות מלאות ל-$AG = 2GF$ ול-$\angle COB = 2\angle ACB$ מופיעות בפתרון המודרך. ב. הוכח בהצלחה כי יחס השטחים הוא $\frac{1}{5}$.