לפניך סרטוט הגרף של פונקציה \(f(x)\). מתוך חקירת הפונקציה ידוע כי: - נקודת הקיצון (מינימום) של הפונקציה משיקה לציר ה-\(x\) בנקודה \((-3, 0)\). - נקודת הקיצון (מקסימום) של הפונקציה היא \((1, 256)\). - הגרף חותך את ציר ה-\(y\) בנקודה \((0, 162)\) ואת ציר ה-\(x\) בנקודה \((2, 0)\). נתונה הפונקציה המורכבת: \[ g(x) = \frac{1}{f(x-3)} \] א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה \(g(x)\)? נמק. ב. האם גרף הפונקציה \(g(x)\) חותך את הצירים? אם כן, באילו נקודות? אם לא, הסבר מדוע. ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה \(g(x)\). ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה \(g(x)\).
שאלות של טרנספורמציות נראות מפחידות כי אין לנו את הנוסחה של הפונקציה, אבל הסוד הוא לפרק את הפעולות! תסתכלו על המכנה: יש כאן קודם כל הזזה אופקית ימינה ב-3 יחידות (\(f(x-3)\)). קחו את כל נקודות הקיצון ונקודות החיתוך שיש לכם בגרף והזיזו אותן 3 צעדים ימינה בראש. רק אחר כך, מפעילים את ההופכי (\(1/y\)). זכרו: איפה שהפונקציה המקורית מתאפסת, להופכית תהיה אסימפטוטה אנכית, ואיפה שהמקורית עולה - ההופכית תרד!
לפני שנטפל בפונקציה \(g(x)\), חשוב להבין את המכנה שלה. נגדיר פונקציית עזר \( h(x) = f(x-3) \). הפעולה של חיסור 3 מה-x בתוך הסוגריים משמעותה הזזה אופקית ימינה ב-3 יחידות של כל גרף הפונקציה \(f(x)\), מבלי לשנות את ערכי ה-y שלה. נעדכן את הנקודות הקריטיות מ- \(f(x)\) ל- \(h(x)\): - נקודת מינימום מ- \((-3, 0)\) הופכת ל- \((0, 0)\). - נקודת מקסימום מ- \((1, 256)\) הופכת ל- \((4, 256)\). - נקודות חיתוך עם ציר x מ- \(x=-3, x=2\) הופכות ל- \(x=0, x=5\).
מושגים: הזזה אופקית
הפונקציה נתונה כי: \[ g(x) = \frac{1}{f(x-3)} \] זוהי פונקציית מנה. פונקציית מנה אינה מוגדרת כאשר המכנה שלה מתאפס. לכן, נדרוש: \[ f(x-3) \neq 0 \] מתוך הגרף הנתון של \(f(x)\), אנו יודעים שהפונקציה מתאפסת (חותכת את ציר ה-x) כאשר הביטוי שבתוך הסוגריים שווה ל--3 או ל-2. לכן, המכנה יתאפס כאשר: \[ x - 3 = -3 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] \[ x - 3 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 5 \] מכאן שתחום ההגדרה הוא \( x \neq 0 \) וגם \( x \neq 5 \). בנקודות אלו יהיו אסימפטוטות אנכיות לפונקציה \(g(x)\).
חיתוך עם ציר ה-y: נציב \( x = 0 \). אך כפי שמצאנו בסעיף א', הנקודה \( x = 0 \) אינה בתחום ההגדרה של הפונקציה (המכנה מתאפס). לכן, אין חיתוך עם ציר ה-y. חיתוך עם ציר ה-x: נציב \( g(x) = 0 \). \[ \frac{1}{f(x-3)} = 0 \] שבר שווה לאפס רק אם המונה שלו שווה לאפס. מכיוון שהמונה בפונקציה שלנו הוא תמיד המספר הקבוע 1 (ששונה מאפס), למשוואה זו אין פתרון. לכן, אין חיתוך עם ציר ה-x.
כדי למצוא תחומי עלייה וירידה, נגזור את הפונקציה לפי כלל הנגזרת של מנה (או הנגזרת של פונקציית הופכי \( \frac{1}{h(x)} \)): \[ g'(x) = \frac{0 \cdot f(x-3) - 1 \cdot f'(x-3) \cdot 1}{[f(x-3)]^2} = \frac{-f'(x-3)}{[f(x-3)]^2} \] נשים לב לסימן הנגזרת: - המכנה \( [f(x-3)]^2 \) הוא תמיד חיובי (בתחום ההגדרה). - לכן, הסימן של \( g'(x) \) הפוך לסימן של הנגזרת הפנימית \( f'(x-3) \). משמעות הדבר: היכן שהפונקציה המקורית \(f(x-3)\) עולה - פונקציית המנה \(g(x)\) תרד, והיכן שהמקורית יורדת - פונקציית המנה תעלה. ננתח את העלייה והירידה של פונקציית המכנה המעודכנת \(h(x) = f(x-3)\): - הפונקציה \(f(x)\) יורדת עבור \( x < -3 \) ו- \( x > 1 \). לכן \(f(x-3)\) יורדת עבור \( x < 0 \) ו- \( x > 4 \). בתחומים אלו \(g(x)\) תעלה. - הפונקציה \(f(x)\) עולה עבור \( -3 < x < 1 \). לכן \(f(x-3)\) עולה עבור \( 0 < x < 4 \). בתחום זה \(g(x)\) תרד. נזכור שעלינו לקרוע את התחומים בנקודות אי-ההגדרה \( x=0 \) ו- \( x=5 \). לכן התחומים הסופיים הם: תחומי עלייה: \( x < 0 \) או \( 4 < x < 5 \) או \( x > 5 \) תחומי ירידה: \( 0 < x < 4 \) הערה: בנקודה \( x=4 \) הפונקציה משנה כיוון מירידה לעלייה, ולכן יש לה שם נקודת מינימום שערכה \( \frac{1}{256} \).
מושגים: פונקציית הופכי
נאסוף את כל המידע שגילינו כדי לסרטט את הגרף: - אסימפטוטות אנכיות: יש ב- \( x=0 \) (ציר y) וב- \( x=5 \). - אסימפטוטה אופקית: בקצוות (\( x \to \pm\infty \)), הפונקציה \(f(x)\) שואפת ל- \(\infty\) או \(-\infty\). לכן ההופכית \( \frac{1}{\infty} \) שואפת ל-0. אסימפטוטה אופקית: \( y=0 \). - נקודת קיצון: מצאנו שיש מינימום ב- \( x=4 \). ערך ה-y הוא \( \frac{1}{f(4-3)} = \frac{1}{f(1)} = \frac{1}{256} \). כלומר הנקודה \((4, \frac{1}{256})\) היא מינימום. - התנהגות סביב האסימפטוטות: - מצד שמאל ל-0 (\(x < 0\)): המכנה \(f(x-3)\) הוא חיובי ומתקרב ל-0. השבר כולו שואף ל- \(+\infty\). - בין 0 ל-5: המכנה חיובי. לכן הפונקציה כולה חיובית מעל ציר ה-x, יורדת מהאסימפטוטה ב- \(x=0\) עד למינימום ב- \(x=4\), ושוב עולה לאסימפטוטה ב- \(x=5\). - מצד ימין ל-5 (\(x > 5\)): המכנה \(f(x-3)\) הופך לשלילי (כי הגרף המקורי צולל מתחת לציר ה-x אחרי השורש שלו). שבר חלקי מספר שלילי זעיר שואף ל- \(-\infty\). הפונקציה תגיע מלמטה ותשאף ל- \(y=0\).
מושגים: חשיבה גרפית ללא תבנית אלגברית
התשובה הסופית: א. \( x \neq 0 \) וגם \( x \neq 5 \) ב. הפונקציה אינה חותכת את הצירים. ציר \(y\) הוא אסימפטוטה (מחוץ לתחום ההגדרה), וציר \(x\) לא נחתך כי המונה תמיד 1. ג. תחומי עלייה: \( x < 0 \) או \( 4 < x < 5 \) או \( x > 5 \). תחומי ירידה: \( 0 < x < 4 \). ד. ראו סרטוט בסוף הפתרון המודרך.
לפניך סרטוט הגרף של פונקציה f(x). מתוך חקירת הפונקציה ידוע כי: - נקודת הקיצון (מינימום) של הפונקציה משיקה לציר ה-x בנקודה (−3,0). - נקודת הקיצון (מקסימום) של הפונקציה היא (1,256). - הגרף חותך את ציר ה-y בנקודה (0,162) ואת ציר ה-x בנקודה (2,0).
נתונה הפונקציה המורכבת: g(x)=f(x−3)1 א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)? נמק. ב. האם גרף הפונקציה g(x) חותך את הצירים? אם כן, באילו נקודות? אם לא, הסבר מדוע. ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g(x). ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
