חדו"א · טרנספורמציות של פונקציות
השאלה
נתון גרף הפונקציה \(f(x)\) המוגדרת בתחום \(x < 0\). הפונקציה חיובית ועולה בתחום זה (כפי שניתן לראות, היא שואפת לאסימפטוטות בצירים), וחותכת את הישר \(y = 1\) בנקודה שבה \(x = t\). כיצד ייראה גרף הפונקציה \(g(x) = f^2(x)\) באותו התחום? סרטטו סקיצה של הפונקציה \(g(x)\) על אותה מערכת צירים והסבירו את מיקומה היחסי (מעל, מתחת או חותכת) ביחס לפונקציה \(f(x)\).
הטיפ של עובד
האינטואיציה שלנו לרוב צועקת: "אם מעלים משהו בריבוע, הוא חייב להיות גדול יותר!". זו מלכודת קלאסית בבגרות.
הכלל הזה נכון רק למספרים שגדולים מ-\(1\). אבל מה קורה כשמעלים שבר בריבוע? \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \) – המספר בעצם קטן!
לכן, כשמבקשים מכם לסרטט את \(f^2(x)\), תמיד תפצלו את ההסתכלות שלכם לפי ערכי ה-\(y\) של הפונקציה המקורית: איפה ה-\(y\) גדול מ-\(1\), איפה הוא בדיוק \(1\), ואיפה הוא "כלוא" בין \(0\) ל-\(1\).
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: התחום שבו הערכים בין 0 ל-1
התחום שבו \(0 < f(x) < 1\): זהו התחום משמאל לנקודה \(t\) (כלומר \(x < t\)). הפונקציה אמנם עולה, אך ערכיה שם נמוכים מ-1 (שברים חיוביים). כאשר אנו לוקחים שבר חיובי ומעלים אותו בריבוע, התוצאה קטנה מהמספר המקורי. לדוגמה, אם בנקודה מסוימת \(f(-2) = \frac{1}{2}\), אז בגרף החדש הנקודה תהיה \(f^2(-2) = \frac{1}{4}\), וברור כי \(\frac{1}{4} < \frac{1}{2}\). מסקנה: בתחום זה גרף הפונקציה \(f^2(x)\) יימצא מתחת לגרף הפונקציה \(f(x)\), וישאף גם הוא לאסימפטוטה האופקית \(y=0\).
מושגים: התנהגות שברים תחת חזקה
שלב 2: נקודת החיתוך
הנקודה שבה \(f(x) = 1\): נתון כי בנקודה שבה \(x = t\), מתקיים \(f(t) = 1\). כאשר נעלה ערך זה בריבוע נקבל: \[ f^2(t) = 1^2 = 1 \] מסקנה: הנקודה \((t, 1)\) משותפת לשני הגרפים, כלומר הגרפים נחתכים בנקודה זו.
מושגים: נקודות עוגן (Invariants)
שלב 3: התחום שבו הערכים גדולים מ-1
התחום שבו \(f(x) > 1\): זהו התחום מימין לנקודה \(t\) (כלומר \(t < x < 0\)). ככל שמתקרבים לציר ה-\(y\), הפונקציה ממריאה וערכיה גדולים מ-1. כאשר מעלים מספר שגדול מ-1 בריבוע, התוצאה גדולה מהמספר המקורי. לדוגמה, אם עבור \(x\) מסוים מתקיים \(f(-0.5) = 3\), אזי \(f^2(-0.5) = 9\). מסקנה: בתחום זה, גרף הפונקציה \(f^2(x)\) יימצא מעל לגרף הפונקציה \(f(x)\), וישאף מהר יותר למעלה (לאסימפטוטה \(x=0\)).
מושגים: טרנספורמציות על גרפים
שלב 4: סרטוט הגרף המשותף
נרכז את המסקנות לתוך סרטוט אחד, כאשר \(f^2(x)\) מסומנת בצבע אדום ומקווקו:
תשובה סופית
התשובה הסופית: עבור \(x < t\) (הערכים קטנים מ-1): מתקיים \(f^2(x) < f(x)\) (הגרף מתחת). בנקודה \(x = t\) (הערך שווה ל-1): מתקיים \(f^2(t) = f(t) = 1\) (הגרפים נחתכים). עבור \(t < x < 0\) (הערכים גדולים מ-1): מתקיים \(f^2(x) > f(x)\) (הגרף מעל).
