חקירת פונקציות · פונקציה בחזקת n (זוגי ואי-זוגי)

השאלה

בסרטוט נתון גרף הפונקציה $ f(x) $. הפונקציה אינה מוגדרת בתחום שבין $ -1 < x < 1 $. נתונה הפונקציה $ g(x) = (f(x))^n $, כאשר $ n $ הוא מספר טבעי גדול מ-1. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $ g(x) $. הבחינו בין שני מקרים: $ n $ זוגי ו-$ n $ אי-זוגי.

הטיפ של עובד

כאשר גוזרים פונקציה מהצורה $ g(x) = (f(x))^n $, משתמשים בכלל השרשרת: $ g'(x) = n \cdot (f(x))^{n-1} \cdot f'(x) $. ה"מוקש" כאן הוא להבחין בין הזוגיות של $ n $ לזוגיות של המעריך בנגזרת ($ n-1 $): • אם $ n $ זוגי ← המעריך $ n-1 $ הוא אי-זוגי. המשמעות: החזקה שומרת על הסימן המקורי של $ f(x) $, ולכן הסימן של $ g'(x) $ יושפע גם מהסימן של $ f(x) $ (מעל/מתחת לציר) וגם מעלייה/ירידה של $ f(x) $. • אם $ n $ אי-זוגי ← המעריך $ n-1 $ הוא זוגי. המשמעות: הביטוי $ (f(x))^{n-1} $ תמיד חיובי (עבור $ x $ שאינו מאפס), ולכן הסימן של $ g'(x) $ ייקבע רק על ידי $ f'(x) $ (מגמות הפונקציות זהות!).

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב 1: גזירת הפונקציה ומציאת הנקודות החשודות לקיצון

כדי למצוא את תחומי העלייה והירידה של $ g(x) $, נגזור את הפונקציה ונבדוק מתי היא מתאפסת: \[ g(x) = (f(x))^n \] נשתמש בכלל הגזירה של פונקציה מורכבת: \[ g'(x) = n \cdot (f(x))^{n-1} \cdot f'(x) \] נשווה את הנגזרת לאפס כדי למצוא את הנקודות החשודות: \[ n \cdot (f(x))^{n-1} \cdot f'(x) = 0 \] כיוון שיש לנו מכפלה ששווה לאפס ($ n \neq 0 $), נקבל שתי אפשרויות לפתרון: 1. $ (f(x))^{n-1} = 0 \Rightarrow f(x) = 0 $ : הפונקציה מתאפסת בנקודות החיתוך עם ציר ה-x, כלומר ב- $ x = -1, 1, 4 $. 2. $ f'(x) = 0 $ : נגזרת הפונקציה הפנימית מתאפסת בנקודות הקיצון שלה, כלומר ב- $ x = 2 $. קיבלנו שהנקודות החשודות לקיצון של $ g(x) $ הן: $ x = -1, 1, 2, 4 $.

מושגים: גזירת פונקציה מורכבת

שלב 2: שלב 2: ניתוח הסימנים כאשר $ n $ הוא מספר זוגי

אם $ n $ זוגי, הרי שהמעריך של החזקה בנגזרת, $ n-1 $, הוא מספר אי-זוגי. כאשר מעלים מספר בחזקה אי-זוגית, הסימן שלו נשמר (חיובי נשאר חיובי, שלילי נשאר שלילי). לכן, הביטוי $ (f(x))^{n-1} $ יהיה בעל אותו סימן כמו $ f(x) $. הסימן של $ g'(x) $ יהיה תוצאת המכפלה של הסימן של $ f(x) $ והסימן של $ f'(x) $. נארגן זאת בטבלה: תחום $ x < -1 $: $ f(x) $ שלילית, $ f'(x) $ חיובית. סימן הנגזרת $ g'(x) $ הוא שלילי. מסקנה: $ g(x) $ יורדת. תחום $ 1 < x < 2 $: $ f(x) $ חיובית, $ f'(x) $ חיובית. סימן הנגזרת $ g'(x) $ הוא חיובי. מסקנה: $ g(x) $ עולה. תחום $ 2 < x < 4 $: $ f(x) $ חיובית, $ f'(x) $ שלילית. סימן הנגזרת $ g'(x) $ הוא שלילי. מסקנה: $ g(x) $ יורדת. תחום $ x > 4 $: $ f(x) $ שלילית, $ f'(x) $ שלילית. סימן הנגזרת $ g'(x) $ הוא חיובי. מסקנה: $ g(x) $ עולה.

מושגים: זוגיות ואי-זוגיות של מעריכים, קשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

שלב 3: שלב 3: ניתוח הסימנים כאשר $ n $ הוא מספר אי-זוגי

אם $ n $ אי-זוגי, הרי שהמעריך של החזקה בנגזרת, $ n-1 $, הוא מספר זוגי. כאשר מעלים מספר שאינו אפס בחזקה זוגית, התוצאה היא תמיד חיובית. לכן, הביטוי $ (f(x))^{n-1} $ תמיד חיובי ולא משפיע על שינוי הסימן של הנגזרת. במקרה זה, הסימן של $ g'(x) $ נקבע בלעדית על ידי הסימן של $ f'(x) $, כלומר תחומי העלייה והירידה של $ g(x) $ זהים לאלו של $ f(x) $. תחום $ x < -1 $: $ f'(x) $ חיובית. סימן הנגזרת $ g'(x) $ הוא חיובי. מסקנה: $ g(x) $ עולה. תחום $ 1 < x < 2 $: $ f'(x) $ חיובית. סימן הנגזרת $ g'(x) $ הוא חיובי. מסקנה: $ g(x) $ עולה. תחום $ 2 < x < 4 $: $ f'(x) $ שלילית. סימן הנגזרת $ g'(x) $ הוא שלילי. מסקנה: $ g(x) $ יורדת. תחום $ x > 4 $: $ f'(x) $ שלילית. סימן הנגזרת $ g'(x) $ הוא שלילי. מסקנה: $ g(x) $ יורדת.

מושגים: זוגיות ואי-זוגיות של מעריכים, קשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

תשובות סופיות

התשובות הסופיות: כאשר $ n $ זוגי: תחומי עלייה: $ 1 < x < 2 $ או $ x > 4 $. תחומי ירידה: $ x < -1 $ או $ 2 < x < 4 $. כאשר $ n $ אי-זוגי: תחומי עלייה: $ x < -1 $ או $ 1 < x < 2 $. תחומי ירידה: $ 2 < x < 4 $ או $ x > 4 $.

חזרה לקטלוג

#308חקירת פונקציות

פונקציה בחזקת n (זוגי ואי-זוגי)

קראו את השאלה

שאלה

בסרטוט נתון גרף הפונקציה $f(x)$ . הפונקציה אינה מוגדרת בתחום שבין $-1 < x < 1$ . נתונה הפונקציה $g(x) = (f(x))^n$ , כאשר $n$ הוא מספר טבעי גדול מ-1. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $g(x)$ . הבחינו בין שני מקרים: $n$ זוגי ו- $n$ אי-זוגי.

חקירת פונקציותכלל השרשרתחזקה זוגית ואי-זוגיתתחומי עלייה וירידה