חזרה לקטלוג
#115אלגברה
אי-שוויונות שברייםקראו את השאלה
שאלה
פתרו את אי השוויון הבא:
אלגברה · אי-שוויונות שבריים
השאלה
פתרו את אי השוויון הבא: \frac{2x + 3}{2x - 3} - \frac{36}{4x^2 - 9} \ge \frac{9}{2x + 3}
הטיפ של עובד
לפני שאתם מתחילים לעשות מכנה משותף ולהעביר אגפים - קודם כל תמצאו את תחום ההצבה (תחום הגדרה)! הרבה תלמידים נופלים כשהם מצמצמים ביטויים בהמשך ושוכחים את התחום. שימו לב למכנה האמצעי, יש בו נוסחת כפל מקוצר: 4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3). ברגע שתעבירו את הכל לאגף אחד ותעשו מכנה משותף, הביטוי יצטמצם בצורה יפהפייה.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: שלב 1 - מציאת תחום הצבה (תחום הגדרה)
כדי שהשברים יהיו מוגדרים, המכנים חייבים להיות שונים מאפס. נבדוק כל מכנה: 2x - 3 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 3 \Rightarrow x \neq 1.5 2x + 3 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -3 \Rightarrow x \neq -1.5 המכנה האמצעי הוא פירוק לגורמים של שני המכנים האחרים (הפרש ריבועים): 4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3) \neq 0 שזה נותן לנו בדיוק את אותן ההגבלות. לכן תחום ההצבה שלנו הוא: x \neq 1.5 , \ x \neq -1.5
מושגים: תחום הצבה
שלב 2: שלב 2 - העברת אגפים ויצירת מכנה משותף
נעביר את השבר שבאגף ימין לאגף שמאל, כדי שבאגף ימין יישאר לנו רק 0: \frac{2x + 3}{2x - 3} - \frac{36}{(2x - 3)(2x + 3)} - \frac{9}{2x + 3} \ge 0 המכנה המשותף לכל השברים הוא: (2x - 3)(2x + 3). נרחיב כל מונה במה שחסר לו מהמכנה המשותף: - המונה הראשון יוכפל ב- (2x + 3) - המונה השני לא יוכפל בכלום (או יוכפל ב-1) - המונה השלישי יוכפל ב- (2x - 3) \frac{(2x + 3)(2x + 3) - 36 - 9(2x - 3)}{(2x - 3)(2x + 3)} \ge 0
מושגים: מכנה משותף וכינוס שברים
שלב 3: שלב 3 - פתיחת סוגריים וכינוס איברים במונה
נפתח את הסוגריים במונה (שימו לב לנוסחת כפל מקוצר ולמינוס לפני ה-9): (2x + 3)^2 - 36 - 9(2x - 3) \\ 4x^2 + 12x + 9 - 36 - 18x + 27 נכנס איברים דומים: 4x^2 - 6x נוציא גורם משותף במונה (2x): 2x(2x - 3) נציב חזרה אל השבר שלנו: \frac{2x(2x - 3)}{(2x - 3)(2x + 3)} \ge 0
מושגים: מכנה משותף וכינוס שברים
שלב 4: שלב 4 - צמצום השבר ומציאת נקודות איפוס
יש לנו את הגורם (2x - 3) גם במונה וגם במכנה. מאחר שציינו מראש את תחום ההצבה שבו x ≠ 1.5 (ולכן הביטוי הזה לא מתאפס), אנו יכולים פשוט לצמצם אותו. \frac{2x}{2x + 3} \ge 0 כעת, נמצא את נקודות המעבר (הנקודות שבהן הביטוי מחליף סימן): 1. מאפס מונה: 2x = 0 יוביל ל- x = 0 (נקודה זו כלולה בפתרון בגלל שסימן אי-השוויון הוא "גדול או שווה"). 2. מאפס מכנה: 2x + 3 = 0 יוביל ל- x = -1.5 (נקודה זו היא אסימפטוטה/אי-הגדרה).
מושגים: צמצום ושיטת הנחש
שלב 5: שלב 5 - בדיקת תחומי חיוביות וסיכום
נבדוק את הסימן של הביטוי המצומצם סביב נקודות המעבר x=0 ו- x=-1.5: | תחום | x < -1.5 | x = -1.5 | -1.5 < x < 0 | x = 0 | x > 0 | |---|---|---|---|---|---| | הצבת נציג | נציב -2 | לא מוגדר | נציב -1 | מאפס | נציב 1 | | סימן מונה | (-) | | (-) | | (+) | | סימן מכנה | (-) | | (+) | | (+) | | תוצאה | (+) חיובי ✔️ | | (-) שלילי ❌ | 0 ✔️ | (+) חיובי ✔️ | לפי הבדיקה, הפתרון הראשוני הוא: x < -1.5 \quad \text{או} \quad x \ge 0 רגע לפני סיום: נזכרים בתחום ההצבה! קבענו בשלב 1 ש- x ≠ 1.5. המספר 1.5 נופל בדיוק בתוך התחום שמצאנו, ולכן אנו חייבים "לחורר" את התחום הזה ולהוציא ממנו את 1.5. לכן, התחום החיובי מתפצל לשני חלקים: מ-0 (כולל) עד 1.5, ומ-1.5 והלאה. הפתרון הסופי הוא: x < -1.5 \quad \text{או} \quad 0 \le x < 1.5 \quad \text{או} \quad x > 1.5
מושגים: צמצום ושיטת הנחש
תשובות סופיות
התשובות הסופיות: התחום המקיים את אי-השוויון הוא: x < -1.5 \quad \text{או} \quad 0 \le x < 1.5 \quad \text{או} \quad x > 1.5 (ניתן לכתוב גם: x < -1.5 או x ≥ 0 וגם x ≠ 1.5)