חזרה לקטלוג
#138אלגברה
אי-שוויונים מעריכייםקראו את השאלה
שאלה
פתרו את אי-השוויון המעריכי הבא:
אלגברה · אי-שוויונים מעריכיים
השאלה
פתרו את אי-השוויון המעריכי הבא: \[ 2^{2x^2-1} - 2^{x^2+2} > 2^{x^2} + 48 \]
הטיפ של עובד
באי-שוויונים מעריכיים הנראים מורכבים במבט ראשון, חפשו תמיד את הבסיס המשותף שחוזר על עצמו. כאן הביטוי \( 2^{x^2} \) מזמין אותנו להשתמש בהצבת משתנה עזר (למשל \( t \)). זכרו שפונקציה מעריכית תמיד מניבה תוצאה חיובית, כלומר \( t > 0 \), מה שיעזור לכם לפסול פתרונות לא הגיוניים בהמשך. לסיום - אל תשכחו לפתור את אי-השוויון הריבועי של \( x^2 > 4 \) בצורה מלאה ולהתייחס לשני צידי הפתרון (ה"שוליים")!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: פירוק בעזרת חוקי חזקות וכינוס איברים
נשתמש בחוקי החזקות הבסיסיים: \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \) ו- \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \), כדי לפרק את הביטויים המעריכיים: \[ \frac{2^{2x^2}}{2^1} - 2^{x^2} \cdot 2^2 > 2^{x^2} + 48 \] נשים לב שניתן לכתוב את \( 2^{2x^2} \) כ- \( (2^{x^2})^2 \) לפי הכלל \( a^{m \cdot n} = (a^m)^n \). נסדר את אי-השוויון, נחשב את החזקות המספריות ונעביר את כל האיברים לאגף שמאל: \[ \frac{1}{2} \cdot (2^{x^2})^2 - 4 \cdot 2^{x^2} - 1 \cdot 2^{x^2} - 48 > 0 \] נאחד את האיברים הדומים (\( -4 \cdot 2^{x^2} \) ו- \( -1 \cdot 2^{x^2} \)): \[ \frac{1}{2} \cdot (2^{x^2})^2 - 5 \cdot 2^{x^2} - 48 > 0 \]
מושגים: חוקי חזקות
שלב 2: הצבת משתנה עזר t ופתרון אי-השוויון הריבועי
כדי לפשט את אי-השוויון, נציב משתנה עזר: \( t = 2^{x^2} \). מכיוון שפונקציה מעריכית תמיד מניבה תוצאה חיובית, אנו קובעים את תחום ההגדרה: \( t > 0 \). נציב את \( t \) במקום \( 2^{x^2} \) ונקבל אי-שוויון ריבועי פשוט: \[ \frac{1}{2}t^2 - 5t - 48 > 0 \] נכפול את כל אי-השוויון ב-2 כדי להיפטר מהשבר: \[ t^2 - 10t - 96 > 0 \] כדי לפתור זאת, נמצא תחילה את שורשי המשוואה הריבועית \( t^2 - 10t - 96 = 0 \). אפשר להשתמש בנוסחת השורשים או בטרינום \( (t-16)(t+6)=0 \): \[ t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96)}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 384}}{2} = \frac{10 \pm 22}{2} \] השורשים שקיבלנו הם \( t_1 = 16 \) ו- \( t_2 = -6 \). הגרף של \( t^2 - 10t - 96 \) הוא פרבולה "צוחקת" (המקדם של \( t^2 \) חיובי). אי-השוויון דורש שהפרבולה תהיה גדולה מאפס (\( > 0 \)), כלומר אנו מחפשים את תחומי ה"שוליים": \[ t > 16 \quad \text{או} \quad t < -6 \] אבל כפי שקבענו בתחילת השלב, החובה היא ש- \( t > 0 \). התחום \( t < -6 \) אינו אפשרי ולכן נפסל. נשארנו רק עם: \[ t > 16 \]
מושגים: הצבת משתנה עזר (t)
שלב 3: חזרה למשתנה המקורי x ומציאת הפתרון הסופי
כעת נציב בחזרה את המשתנה המקורי \( x \). נחליף את \( t \) ב- \( 2^{x^2} \): \[ 2^{x^2} > 16 \] נציג את 16 כחזקה עם בסיס 2 (\( 16 = 2^4 \)): \[ 2^{x^2} > 2^4 \] מכיוון שבסיס החזקה (2) גדול מ-1, ניתן "לקלף" את הבסיסים ולעבור למעריכים בלבד, תוך שמירה על כיוון סימן אי-השוויון המקורי: \[ x^2 > 4 \] כדי לפתור אי-שוויון ריבועי זה, נעביר את ה-4 אגף ונקבל \( x^2 - 4 > 0 \). שורשי המשוואה הם \( x=2 \) ו- \( x=-2 \). שוב יש לנו פרבולה צוחקת שאנו רוצים שתהיה חיובית (מעל ציר x), ולכן הפתרון שוב נמצא ב"שוליים" (מימין לשורש הגדול ומשמאל לשורש הקטן). מכאן מתקבל הפתרון הסופי של התרגיל: \[ x < -2 \quad \text{או} \quad x > 2 \]
מושגים: פתרון אי-שוויון ריבועי
תשובה סופית
התשובה הסופית: \( x < -2 \) או \( x > 2 \)