נתונה פונקציה: \( f(x) = e^{x^2 - 1} + e^{1 - x^2} \). א. מצאו את תחום ההגדרה של \( f(x) \). ב. מצאו את נקודות החיתוך של \( f(x) \) עם הצירים (אם קיימות). ג. הוכיחו: לכל \( x \) מתקיים: \( f(x) \ge 2 \). ד. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה. נתונה הפונקציה: \( g(x) = \frac{a}{f(x)} \) , \( a \) פרמטר. ה. מצאו את תחום ערכי \( a \) עבורם מתקיים לכל \( x \) : \( 0 < g(x) \le 2 \). ו. מצאו ערך \( a \) כלשהו עבורו יש לפונקציה \( g(x) \) יותר נקודות מינימום מאשר נקודות מקסימום. נמקו.
לסעיף ג': הדרך הקלאסית להוכיח שפונקציה תמיד גדולה מאיזשהו מספר, היא למצוא את נקודת המינימום המוחלטת שלה. במקרה שלנו, ברגע שתראו שהמינימום הוא 2, הוכחתם את הטענה. לסעיף ו': גזרו את \( g(x) \) לפי כלל מנה. תראו שהנגזרת היא \( g'(x) = \frac{-a \cdot f'(x)}{[f(x)]^2} \). אם תבחרו \( a \) שלילי, הנגזרת של \( g \) תהיה בעלת אותו סימן כמו הנגזרת של \( f \), ולכן סוגי הקיצון יישמרו.
בפונקציות מעריכיות שבהן המעריך הוא פולינום, אין מגבלה על ערכי ה-x. לכן תחום ההגדרה הוא כל x.
מושגים: פונקציה מעריכית
עבור ציר ה-y, נציב \( x=0 \) ונקבל \( y = e^{-1} + e^1 = \frac{1}{e} + e \). עבור ציר ה-x, נציב \( y=0 \). מאחר שפונקציה מעריכית היא תמיד חיובית, חיבור של שתי פונקציות מעריכיות לעולם לא יתאפס.
מושגים: חיתוך עם הצירים
נגזור את הפונקציה: f'(x) = 2x(e^{x^2 - 1} - e^{1 - x^2}) נשווה ל-0 ונקבל נקודות חשודות ב- \( x=0, x=1, x=-1 \). בנקודות \( x=1, x=-1 \) מתקבל ערך המינימום \( y=2 \), מה שמוכיח כי הפונקציה גדולה או שווה ל-2.
מושגים: נקודות קיצון, הוכחת אי-שוויון
נדרש ש- \( 0 < \frac{a}{f(x)} \le 2 \). מאחר ש- \( f(x) \ge 2 \), ה- \( f(x) \) חיובי. כדי שהשבר יהיה חיובי, \( a \) חייב להיות חיובי. מהתנאי \( \frac{a}{f(x)} \le 2 \) נובע \( a \le 2 \cdot f(x) \), וכדי שזה יתקיים לכל x, \( a \) חייב להיות קטן מהמינימום של \( 2f(x) \) שהוא \( 2 \cdot 2 = 4 \). לכן: \( 0 < a \le 4 \).
מושגים: פרמטרים
הנגזרת \( g'(x) \) תלויה ב- \( -a \cdot f'(x) \). עבור \( a < 0 \), המינוס של \( a \) והמינוס של הנוסחה מתבטלים, וסימן הנגזרת של \( g \) זהה לסימן הנגזרת של \( f \). לכן סוגי הקיצון נשמרים.
מושגים: חקירת פונקציית מנה
התשובות הסופיות: א. כל \( x \) ב. \( (0, e + \frac{1}{e}) \), אין חיתוך עם ציר ה-x ג. הוכחה: מינימום מוחלט ב- \( y=2 \) ה. \( 0 < a \le 4 \) ו. כל מספר שלילי, למשל \( a = -1 \)
נתונה פונקציה: f(x)=ex2−1+e1−x2.
א. מצאו את תחום ההגדרה של f(x).
ב. מצאו את נקודות החיתוך של f(x) עם הצירים (אם קיימות).
ג. הוכיחו: לכל x מתקיים: f(x)≥2.
ד. שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
נתונה הפונקציה: g(x)=f(x)a , a פרמטר. ה. מצאו את תחום ערכי a עבורם מתקיים לכל x : 0<g(x)≤2. ו. מצאו ערך a כלשהו עבורו יש לפונקציה g(x) יותר נקודות מינימום מאשר נקודות מקסימום. נמקו.
