מתמטיקה · משוואות מעריכיות

שלב 1: שלב 1: תחום הגדרה

במשוואה מופיע הביטוי \(\sqrt{x}\). כפי שאנו יודעים, אי אפשר להוציא שורש ריבועי ממספר שלילי. לכן, תחום ההגדרה של המשוואה הוא: \[ x \ge 0 \]

שלב 2: שלב 2: השוואת בסיסים

הבסיסים במשוואה שלנו הם \(\frac{2}{3}\) באגף שמאל, ו- \(\frac{3}{2}\) באגף ימין. נשתמש בחוקי חזקות של שברים: \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}\). לכן, ניתן לכתוב את הבסיס הימני כך: \[ \left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \] נציב זאת במשוואה המקורית ונהפוך את סימני המעריך שבאגף ימין (כי נכפול במינוס 1): \[ 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{4\sqrt{x} - 16x} + 3 = 5 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^{8x - 2\sqrt{x}} \] \[ 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{4\sqrt{x} - 16x} + 3 = 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-8x + 2\sqrt{x}} \] נסדר את המעריך באגף ימין למען הנוחות: \( 2\sqrt{x} - 8x \).

מושגים: משוואות מעריכיות - בסיסים הופכיים

שלב 3: שלב 3: זיהוי קשר בין המעריכים והצבת משתנה עזר

נתבונן במעריכים שלנו כעת: - מעריך ימני: \(2\sqrt{x} - 8x\) - מעריך שמאלי: \(4\sqrt{x} - 16x\) ניתן לראות בקלות שהמעריך השמאלי הוא בדיוק כפולה ב-2 של המעריך הימני: \( 4\sqrt{x} - 16x = 2(2\sqrt{x} - 8x) \). זה מאפשר לנו להשתמש בכלל החזקה \(a^{2m} = (a^m)^2\). נגדיר משתנה עזר \(t\) כך שיהיה שווה לביטוי עם המעריך הקטן יותר: \[ t = \left(\frac{2}{3}\right)^{2\sqrt{x} - 8x} \] מכאן נובע שהביטוי השני יהיה פשוט המשתנה העזר בריבוע: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{4\sqrt{x} - 16x} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2(2\sqrt{x} - 8x)} = t^2 \]

מושגים: שיטת ההצבה במשוואות מעריכיות

שלב 4: שלב 4: פתרון המשוואה הריבועית עבור t

נציב את \(t\) ו-\(t^2\) לתוך המשוואה, ונקבל משוואה ריבועית פשוטה: \[ 2t^2 + 3 = 5t \] נעביר הכל לאגף שמאל: \[ 2t^2 - 5t + 3 = 0 \] נפתור באמצעות נוסחת השורשים: \[ t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4} \] קיבלנו שני פתרונות עבור \(t\): - \( t_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) - \( t_2 = \frac{4}{4} = 1 \)

שלב 5: שלב 5: חזרה ל-x (אופציה 1: t = 1)

נציב חזרה \( t = 1 \) בהגדרת ההצבה שלנו: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{2\sqrt{x} - 8x} = 1 \] כל מספר בחזקת 0 נותן 1, לכן \(1 = \left(\frac{2}{3}\right)^0\). מכאן שניתן להשוות את המעריך לאפס: \[ 2\sqrt{x} - 8x = 0 \] נוציא גורם משותף \(2\sqrt{x}\) (זכרו ש- \(x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\)): \[ 2\sqrt{x} \cdot (1 - 4\sqrt{x}) = 0 \] כאשר מכפלה שווה לאפס, נבדוק כל גורם בנפרד: - או ש- \(2\sqrt{x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0\) (נמצא בתחום ההגדרה). - או ש- \(1 - 4\sqrt{x} = 0 \Rightarrow 4\sqrt{x} = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{4}\). נעלה בריבוע ונקבל: \(x = \frac{1}{16}\) (נמצא בתחום ההגדרה).

מושגים: משוואות רדיקליות (עם שורש)

שלב 6: שלב 6: חזרה ל-x (אופציה 2: t = 3/2)

נציב חזרה \( t = \frac{3}{2} \) בהגדרת ההצבה שלנו: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{2\sqrt{x} - 8x} = \frac{3}{2} \] שוב, נהפוך את הבסיס באמצעות חזקה שלילית: \(\frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\). \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{2\sqrt{x} - 8x} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \] הבסיסים שווים, ולכן נשווה את המעריכים: \[ 2\sqrt{x} - 8x = -1 \] נעביר הכל לאגף ימין כדי לקבל משוואה מסודרת: \[ 8x - 2\sqrt{x} - 1 = 0 \] זוהי משוואה ריבועית הנסתרת בתוך השורש! נוכל להציב משתנה עזר חדש \(y = \sqrt{x}\) (כאשר \(y \ge 0\), כי שורש הוא תמיד אי-שלילי). \[ 8y^2 - 2y - 1 = 0 \] נפתור בעזרת נוסחת השורשים: \[ y_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1)}}{16} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{16} = \frac{2 \pm 6}{16} \] קיבלנו שתי אפשרויות ל-y: - \( y_1 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \). נחזור ל-x: \(\sqrt{x} = \frac{1}{2}\), נעלה בריבוע ונקבל \(x = \frac{1}{4}\) (חוקי ובתחום ההגדרה). - \( y_2 = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4} \). זהו פתרון נפסל! הסיבה היא שהגדרנו \(y = \sqrt{x}\), ותוצאה של שורש ריבועי ממשי אינה יכולה להיות מספר שלילי. לסיכום, שלושת הפתרונות התקינים הם: \( x = 0 \), \( x = \frac{1}{16} \), \( x = \frac{1}{4} \).