מספרים מרוכבים · פתיחת סוגריים ונוסחאות כפל מקוצר

שלב 1: סעיף א'

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), כאשר \( a = 1 \) ו- \( b = 2i \). \[ (1 + 2i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot (2i) + (2i)^2 \] נחשב כל איבר בנפרד. נזכור כי \( (2i)^2 = 4i^2 \) ומכיוון ש- \( i^2 = -1 \), אז \( 4i^2 = -4 \): \[ = 1 + 4i + 4i^2 \] \[ = 1 + 4i - 4 \] נכנס איברים ממשיים (\( 1 - 4 \)): \[ = -3 + 4i \]

מושגים: נוסחאות הכפל המקוצר, העלאה בריבוע של איבר מדומה, כינוס איברים מרוכבים

שלב 2: סעיף ב'

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), כאשר \( a = 5 \) ו- \( b = 4i \). \[ (5 - 4i)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot (4i) + (4i)^2 \] נחשב את האיברים. \( 5^2 = 25 \). המכפלה האמצעית היא \( -2 \cdot 5 \cdot 4i = -40i \). האיבר האחרון הוא \( (4i)^2 = 16i^2 = -16 \): \[ = 25 - 40i + 16i^2 \] \[ = 25 - 40i - 16 \] נכנס איברים ממשיים (\( 25 - 16 \)): \[ = 9 - 40i \]

שלב 3: סעיף ג'

נשתמש שוב בנוסחת הכפל המקוצר של חיבור: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), כאשר \( a = 4 \) ו- \( b = 3i \). \[ (4 + 3i)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot (3i) + (3i)^2 \] נחשב: \( 4^2 = 16 \). המכפלה האמצעית היא \( 2 \cdot 4 \cdot 3i = 24i \). האיבר האחרון הוא \( (3i)^2 = 9i^2 = -9 \): \[ = 16 + 24i + 9i^2 \] \[ = 16 + 24i - 9 \] נכנס איברים ממשיים (\( 16 - 9 \)): \[ = 7 + 24i \]