מתמטיקה · פונקציות לוגריתמיות

שלב 1: שלב 1: זיהוי תנאי ההגדרה

בפונקציה שלנו יש לוגריתמים במכנה ובמונה, לכן עלינו להציב 3 תנאים במקביל, ולקחת את החיתוך (מערכת "וגם") של כל התוצאות: 1. התוכן של הלוגריתם הראשון חייב להיות חיובי: \( 2x^2 - 5x + 3 > 0 \) 2. התוכן של הלוגריתם השני חייב להיות חיובי: \( x^3 + \frac{1}{8} > 0 \) 3. המכנה חייב להיות שונה מאפס: \( \log_{0.5}(2x^2 - 5x + 3) \neq 0 \)

שלב 2: שלב 2: פתרון התנאי הראשון (תוכן לוג ראשון)

נפתור את אי-השוויון הריבועי: \( 2x^2 - 5x + 3 > 0 \) נמצא תחילה את שורשי המשוואה \( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \) בעזרת נוסחת השורשים: \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{4} \] \[ x_1 = \frac{6}{4} = 1.5 \] \[ x_2 = \frac{4}{4} = 1 \] מכיוון שהמקדם של \( x^2 \) חיובי, זוהי פרבולה צוחקת (מחייכת). היא חיובית עבור הערכים מחוץ לשורשים. לכן הפתרון של תנאי זה הוא: \( x < 1 \) או \( x > 1.5 \)

מושגים: תחום הגדרה של פונקציה לוגריתמית

שלב 3: שלב 3: פתרון התנאי השני (תוכן לוג שני)

נפתור את אי-השוויון ממעלה שלישית: \( x^3 + \frac{1}{8} > 0 \) נעביר אגפים: \[ x^3 > -\frac{1}{8} \] נוציא שורש שלישי לשני האגפים. מכיוון ששורש מסדר אי-זוגי משמר את סימן אי-השוויון, נקבל: \( x > -0.5 \)

שלב 4: שלב 4: פתרון התנאי השלישי (מכנה שונה מאפס)

נדרוש: \( \log_{0.5}(2x^2 - 5x + 3) \neq 0 \) לפי הגדרת הלוגריתם, זה שקול ל: \[ 2x^2 - 5x + 3 \neq 0.5^0 \] מכיוון שכל מספר (פרט לאפס) בחזקת אפס שווה ל-1, נקבל: \[ 2x^2 - 5x + 3 \neq 1 \] נעביר את 1 אגף ונפתור את המשוואה הריבועית: \[ 2x^2 - 5x + 2 \neq 0 \] \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \] השורשים הם: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 0.5 \). כיוון שאנו דורשים שהביטוי יהיה שונה מאפס, נסיק ש-x אינו יכול להיות שווה לערכים אלו: \( x \neq 2 \) וגם \( x \neq 0.5 \)

מושגים: תחום הגדרה של פונקציית מנה

שלב 5: שלב 5: חיתוך הפתרונות ("וגם")

כעת עלינו לעשות מערכת "וגם" לכל התנאים שמצאנו: - \( x < 1 \) או \( x > 1.5 \) - \( x > -0.5 \) - \( x \neq 0.5 \), \( x \neq 2 \) נשלב תחילה את שני התנאים הראשונים: עלינו לקחת את התחום \( x < 1 \) או \( x > 1.5 \) ולחתוך אותו עם \( x > -0.5 \). החיתוך ייתן לנו: \( -0.5 < x < 1 \) או \( x > 1.5 \). כעת, נוציא מהתחומים האלו את הנקודות שאסורות מהתנאי השלישי (\( x=0.5 \) ו- \( x=2 \)): הנקודה \( x=0.5 \) נופלת בתוך התחום \( -0.5 < x < 1 \), לכן היא מפצלת אותו לשני תחומים: \( -0.5 < x < 0.5 \) או \( 0.5 < x < 1 \). הנקודה \( x=2 \) נופלת בתוך התחום \( x > 1.5 \), לכן היא מפצלת אותו לשני תחומים: \( 1.5 < x < 2 \) או \( x > 2 \). האיחוד של כל התחומים החוקיים נותן את התשובה הסופית: \( -0.5 < x < 0.5 \) או \( 0.5 < x < 1 \) או \( 1.5 < x < 2 \) או \( x > 2 \)

מושגים: חיתוך תחומי הגדרה (מערכת "וגם")