אלגברה · תחום הגדרה

השאלה

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה: $ y = \frac{\sqrt{x^2 - 8x + 15}}{\sqrt{-x^2 + 9x - 8}} $

הטיפ של עובד

שימו לב להבדל הדק אך הקריטי! יש לנו כאן שני שורשים במקומות שונים. 1. שורש במונה: מותר לו להיות שווה לאפס, ולכן נדרוש שהביטוי בתוכו יהיה "גדול או שווה לאפס" ($ \ge 0 $). 2. שורש במכנה: אסור למכנה להתאפס (אי אפשר לחלק באפס!), ולכן נדרוש שהביטוי בתוך השורש יהיה "גדול ממש מאפס" ($ > 0 $). פתרו כל אי-שוויון כזה בנפרד (בעזרת פרבולה "מחייכת" או "בוכה"), ובסוף אל תשכחו לעשות מערכת "וגם" (חיתוך) בין שני התחומים שמצאתם.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: שלב 1 - תנאי המונה (גדול או שווה לאפס)

הביטוי הנמצא בתוך השורש שבמונה חייב להיות חיובי או אפס: $ x^2 - 8x + 15 \ge 0 $ נמצא את נקודות ההתאפסות. נפתור משוואה ריבועית בעזרת טרינום או נוסחת השורשים: $ x^2 - 8x + 15 = 0 $ $ (x - 3)(x - 5) = 0 $ השורשים הם: $ x_1 = 3 $ ו- $ x_2 = 5 $. הפרבולה $ x^2 - 8x + 15 $ היא פרבולה "מחייכת" (המקדם של $x^2$ חיובי). אנו מחפשים היכן היא גדולה או שווה לאפס (מעל ציר x). היא נמצאת מעל ציר ה-x בצדדים (ה"קרניים" של הפרבולה): תנאי 1: $ x \le 3 $ או $ x \ge 5 $

שלב 2: שלב 2 - תנאי המכנה (גדול ממש מאפס)

הביטוי הנמצא בתוך השורש שבמכנה חייב להיות חיובי, אבל אסור לו להיות אפס: $ -x^2 + 9x - 8 > 0 $ נמצא את נקודות ההתאפסות: $ -x^2 + 9x - 8 = 0 $ נפתור בעזרת נוסחת השורשים: $ x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8)}}{2 \cdot (-1)} $ $ x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 32}}{-2} $ $ x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{-2} = \frac{-9 \pm 7}{-2} $ $ x_1 = \frac{-9 + 7}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1 $ $ x_2 = \frac{-9 - 7}{-2} = \frac{-16}{-2} = 8 $ הפרבולה $ -x^2 + 9x - 8 $ היא פרבולה "בוכה" (המקדם של $x^2$ שלילי). אנו מחפשים היכן היא גדולה ממש מאפס (מעל ציר x). היא נמצאת מעל ציר ה-x בתחום שבין שני השורשים ("קערת" הפרבולה): תנאי 2: $ 1 < x < 8 $

שלב 3: שלב 3 - חיתוך התחומים (מערכת "וגם")

כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת, שני התנאים חייבים להתקיים בו-זמנית. עלינו לחתוך (לעשות "וגם") בין התחומים: תנאי 1: ( $ x \le 3 $ או $ x \ge 5 $ ) --- וגם --- תנאי 2: ( $ 1 < x < 8 $ ) נדמיין את ציר המספרים: אנו מצומצמים מראש רק למספרים שבין 1 ל-8 (לא כולל הקצוות בגלל תנאי 2). מתוך ה"חלון" הזה של (1 עד 8), מותר לנו לקחת רק את המספרים שקטנים-שווים ל-3, או גדולים-שווים ל-5 (לפי תנאי 1). כלומר, ניקח מ-1 (לא כולל) עד ל-3 (כולל). וניקח מ-5 (כולל) עד 8 (לא כולל). התחום המשותף: $ 1 < x \le 3 $ או $ 5 \le x < 8 $.

תשובה סופית

התשובה הסופית: $ 1 < x \le 3 $ או $ 5 \le x < 8 $

חזרה לקטלוג

#124אלגברה

תחום הגדרה

קראו את השאלה

שאלה

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה:

$y = \frac{\sqrt{x^2 - 8x + 15}}{\sqrt{-x^2 + 9x - 8}}$