אלגברה · פונקציה מעריכית

שלב 1: זיהוי התנאים לתחום ההגדרה

כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת, עלינו לדרוש שני תנאים במקביל (מערכת "וגם"): 1. תנאי מכנה: המכנה המופיע במעריך החזקה חייב להיות שונה מאפס. \[ x^2 \neq 0 \implies x \neq 0 \] 2. תנאי שורש זוגי: הביטוי מתחת לשורש הרביעי חייב להיות אי-שלילי (גדול או שווה לאפס). \[ \left( \left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{x^2}} \right)^{(x^2-2x)} - 1 \ge 0 \]

מושגים: תחום הגדרה משולב

שלב 2: פישוט הביטוי המעריכי

נעביר את 1 אגף ונשתמש בחוקי חזקות: \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) כדי להכפיל את המעריכים זה בזה: \[ \left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{x^2} \cdot (x^2-2x)} \ge 1 \] נפשט את המעריך. מכיוון שכבר דרשנו \( x \neq 0 \), מותר לנו לצמצם: \[ \frac{x^2-2x}{x^2} = \frac{x(x-2)}{x^2} = \frac{x-2}{x} \] נציב חזרה ונקבל את אי-השוויון המעריכי: \[ \left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{x-2}{x}} \ge 1 \]

שלב 3: פתרון אי-השוויון המעריכי

נבטא את האגף הימני (1) כחזקה עם אותו בסיס: \( 1 = \left( \frac{1}{4} \right)^0 \). \[ \left( \frac{1}{4} \right)^{\frac{x-2}{x}} \ge \left( \frac{1}{4} \right)^0 \] נקודה קריטית: הבסיס שלנו הוא \( \frac{1}{4} \), שהוא שבר קטן מ-1. לכן, הפונקציה המעריכית היא יורדת. המשמעות היא שכאשר נשווה את המעריכים, עלינו להפוך את סימן אי-השוויון! \[ \frac{x-2}{x} \le 0 \]

מושגים: פונקציה מעריכית יורדת (היפוך סימן)

שלב 4: פתרון אי-השוויון השברי

נמצא את המאפסים של המונה ושל המכנה: - איפוס מונה: \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \) (נקודה סגורה, שייכת לתחום כי יש שוויון לאפס). - איפוס מכנה: \( x = 0 \) (נקודה פתוחה, אסור לאפס מכנה). נשתמש בשיטת הנחש (או נציב ערכים). הביטוי חיובי עבור \( x > 2 \) או \( x < 0 \), ושלילי בין השורשים. אנו מחפשים היכן הביטוי קטן או שווה לאפס (\( \le 0 \)), לכן התחום הוא: \[ 0 < x \le 2 \]

מושגים: אי-שוויון רציונלי (שברי)

שלב 5: חיתוך עם תנאי ההגדרה הראשוני

תחום ההגדרה מהשלב הקודם הוא \( 0 < x \le 2 \). תנאי זה כבר כולל בתוכו את הדרישה ש- \( x \neq 0 \) (אין שוויון ב-0). לכן זהו תחום ההגדרה הסופי של הפונקציה.