מתמטיקה · משוואות ואי-שוויונים מעריכיים

שלב 1: שלב 1: זיהוי תנאי תחום ההגדרה

בפונקציה הנתונה יש לנו שני אלמנטים שמגבילים את ה-\(x\): 1. שבר: המכנה חייב להיות שונה מאפס. 2. שורש ריבועי: הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי (גדול או שווה לאפס). שילוב של שני התנאים הללו (שורש הממוקם במכנה) אומר שהביטוי בתוך השורש חייב להיות חיובי ממש. נרשום את אי-השוויון הדרוש: \[ \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{x^2 - 4x}{2}} - 27 > 0 \]

מושגים: תחום הגדרה משולב

שלב 2: שלב 2: סידור האי-שוויון המעריכי

נעביר את המספר 27 לאגף ימין: \[ \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{x^2 - 4x}{2}} > 27 \] כדי לפתור אי-שוויון מעריכי, עלינו להביא את שני האגפים לאותו בסיס. נבחין שגם 9 וגם 27 הם חזקות של 3: - \( 27 = 3^3 \) - \( \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} \) נציב חזרה לאי-השוויון: \[ (3^{-2})^{\frac{x^2 - 4x}{2}} > 3^3 \]

שלב 3: שלב 3: פישוט חוקי חזקות (חזקה על חזקה)

לפי חוקי חזקות \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\), נכפול את המעריך הפנימי בחיצוני: \[ 3^{-2 \cdot \frac{x^2 - 4x}{2}} > 3^3 \] ה-2 במכנה וה-2 במונה מצטמצמים, ונשארנו עם מינוס (שזה בעצם מינוס 1) שכופל את כל הביטוי במעריך: \[ 3^{-(x^2 - 4x)} > 3^3 \] \[ 3^{-x^2 + 4x} > 3^3 \]

מושגים: אי-שוויונות מעריכיים

שלב 4: שלב 4: השוואת מעריכים ופתרון אי-שוויון ריבועי

כעת כשהבסיסים שווים, נוכל להסתכל רק על המעריכים. חשוב: מכיוון שהבסיס שלנו (3) גדול מ-1, כיוון אי-השוויון נשמר כפי שהוא: \[ -x^2 + 4x > 3 \] נעביר את כל האיברים לאגף אחד כדי לקבל אי-שוויון ריבועי מסודר (נוח יותר כשהמקדם של ה-\(x^2\) הוא חיובי, אז נעביר ימינה): \[ 0 > x^2 - 4x + 3 \] שזה בדיוק כמו לכתוב: \[ x^2 - 4x + 3 < 0 \] נמצא את שורשי המשוואה \(x^2 - 4x + 3 = 0\) באמצעות טרינום או נוסחת שורשים: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1 \,,\,\, x_2 = 3 \] הפרבולה של \(x^2 - 4x + 3\) היא פרבולה צוחקת (מקדם \(a > 0\)). אנו מחפשים היכן היא קטנה מאפס (כלומר, מתחת לציר ה-x). זה קורה בתחום שבין שני השורשים. תחום ההגדרה הסופי הוא: \( 1 < x < 3 \)

מושגים: פתרון אי-שוויון ריבועי