נתונה הפונקציה \( f(x) = -x^2 + 4x \). נגדיר פונקציות חדשות: \( g(x) = |f(x)| \) \( h(x) = f(x) - g(x) \) בשרטוט מתוארים הגרפים של הפונקציות \( f(x) \) (בשחור) ו- \( g(x) \) (באדום). א. מצא את התחומים שבהם מתקיים \( h(x) = 0 \) ואת התחומים שבהם מתקיים \( h(x) < 0 \). נמק את תשובתך. ב. על סמך ניתוח סעיף א', תאר במדויק מילולית (או שרטט) את הצורה של גרף הפונקציה \( h(x) \) בכל תחום הגדרתה.
כאשר אנו מתבקשים לחקור פונקציה המוגדרת כהפרש בין פונקציה לערך המוחלט שלה, כגון \( f(x) - |f(x)| \), חשוב ביותר לחלק למקרים על פי סימן הפונקציה הפנימית: 1. בתחומים שבהם \( f(x) \ge 0 \), הערך המוחלט "לא עושה כלום" (\( |f(x)| = f(x) \)). ההפרש בין הפונקציה לעצמה הוא פשוט אפס! במקטעים אלו הגרף מתלכד עם ציר ה- \( x \). 2. בתחומים שבהם \( f(x) < 0 \), הערך המוחלט הופך את הסימן (\( |f(x)| = -f(x) \)). ההפרש יוצא \( f(x) - (-f(x)) = 2f(x) \). המשמעות היא שכל הערכים השליליים של הפונקציה פשוט מוכפלים פי 2 והגרף הופך ל"עמוק" ותלול יותר מטה. השיטה הטובה ביותר לפתרון כאן היא חשיבה גרפית ולא רק פתרון משוואות!
ננתח את הפונקציה \( h(x) = f(x) - g(x) = f(x) - |f(x)| \) על סמך תחומי החיוביות והשליליות של \( f(x) \). תחילה, נבדוק מתי \( f(x) \) חיובית ומתי היא שלילית. נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- \( x \): \[ -x^2 + 4x = 0 \] \[ x(-x + 4) = 0 \] הפתרונות הם \( x = 0 \) ו- \( x = 4 \). הגרף של \( f(x) \) הוא פרבולה "בוכה" (עקב המקדם השלילי לפני \( x^2 \)). לכן: • הפונקציה חיובית (\( f(x) > 0 \)) בתחום שבין השורשים: \( 0 < x < 4 \). • הפונקציה שלילית (\( f(x) < 0 \)) מחוץ לשורשים: \( x < 0 \) או \( x > 4 \). כעת נפצל את הפונקציה \( h(x) \) לשני מקרים לפי הגדרת הערך המוחלט: מקרה 1: התחום שבו \( f(x) \ge 0 \) (בתחום \( 0 \le x \le 4 \)) כאשר ביטוי הוא חיובי (או אפס), הערך המוחלט שלו שווה לביטוי עצמו, כלומר \( g(x) = |f(x)| = f(x) \). נציב זאת בפונקציה \( h(x) \): \[ h(x) = f(x) - f(x) = 0 \] מכאן שבכל התחום \( 0 \le x \le 4 \), מתקיים \( h(x) = 0 \). מקרה 2: התחום שבו \( f(x) < 0 \) (בתחומים \( x < 0 \) או \( x > 4 \)) כאשר ביטוי הוא שלילי, הערך המוחלט הופך את סימנו, כלומר \( g(x) = |f(x)| = -f(x) \). נציב זאת בפונקציה \( h(x) \): \[ h(x) = f(x) - (-f(x)) = 2f(x) \] היות שבתחומים אלו ידוע כי \( f(x) < 0 \), הרי שגם הכפלתה פי 2 תיתן ערך שלילי. לכן בתחומים אלו מתקיים בהכרח \( h(x) < 0 \). לסיכום סעיף א': \( h(x) = 0 \) בתחום \( 0 \le x \le 4 \), ו- \( h(x) < 0 \) עבור \( x < 0 \) או \( x > 4 \).
מושגים: פונקציית הערך המוחלט, הפרש בין פונקציות
על סמך המסקנות שהסקנו בסעיף א', תיאור הגרף של הפונקציה \( h(x) \) יהיה כדלקמן: 1. בתחום \( 0 \le x \le 4 \): הפונקציה מתאפסת לחלוטין. מבחינה גרפית, פירוש הדבר שגרף הפונקציה "נשכב" ומתלכד בצורה חופפת עם ציר ה- \( x \). 2. בתחומים \( x < 0 \) ו- \( x > 4 \): הפונקציה מתנהגת לפי הכלל \( h(x) = 2f(x) = -2x^2 + 8x \). מבחינה גרפית, מדובר בהכפלה פי שניים של ערכי ה- \( y \) השליליים המקוריים של ענפי הפרבולה. הענפים ימשיכו לרדת כלפי מטה מתחת לציר ה- \( x \), אך כעת הם יהיו "מתוחים" ותלולים יותר כלפי מטה.
מושגים: פונקציה מפוצלת (Piecewise)
התשובות הסופיות: א. \( h(x) = 0 \) בתחום \( 0 \le x \le 4 \). \( h(x) < 0 \) בתחומים \( x < 0 \) או \( x > 4 \). ב. בקטע הסגור בין 0 ל-4 הגרף מתלכד לחלוטין עם ציר ה- \( x \) (קו ישר מונח על הציר). ביתר התחומים (\( x < 0 \) ו- \( x > 4 \)) הפונקציה מתנהגת כמו ענפי פרבולה הפוכה ותלולה יותר הממוקמת כולה מתחת לציר ה- \( x \) (\( y = -2x^2 + 8x \)).
נתונה הפונקציה f(x)=−x2+4x.
נגדיר פונקציות חדשות: g(x)=∣f(x)∣ h(x)=f(x)−g(x)
בשרטוט מתוארים הגרפים של הפונקציות f(x) (בשחור) ו- g(x) (באדום).
א. מצא את התחומים שבהם מתקיים h(x)=0 ואת התחומים שבהם מתקיים h(x)<0. נמק את תשובתך.
ב. על סמך ניתוח סעיף א', תאר במדויק מילולית (או שרטט) את הצורה של גרף הפונקציה h(x) בכל תחום הגדרתה.
