נתונים: לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה \( f(x) \) כפי שהתקבלה בחקירה קודמת. - לפונקציה יש אסימפטוטות אנכיות ב- \( x = -3 \) וב- \( x = 3 \). - לפונקציה יש אסימפטוטות אופקיות: \( y = -1 \) (עבור \( x \to -\infty \)) ו- \( y = 1 \) (עבור \( x \to \infty \)). סקיצת הפונקציה המקורית \( f(x) \) (בין -3 ל-3 הגרף אינו מוגדר) נתונים שני פרמטרים \( k \) ו-\( t \) המקיימים את אי-השוויון הבא: \( t > k > 3 \) מצאו את הסימן של האינטגרל המסוים הבא: \( \int_{k}^{t} f'(x) \,dx \) האם ערך האינטגרל הוא חיובי, שלילי או אפס? נמקו את תשובתכם.
שאלות כאלו בודקות הבנה עמוקה, ויש לכם שתי דרכים מצוינות לתקוף אותן: 1. הדרך הגרפית (של הנגזרת): נסו לדמיין איך נראה הגרף של הנגזרת בתחום הנתון. אם הפונקציה יורדת, הנגזרת שלילית (מתחת לציר). אינטגרל "רגיל" על פונקציה שלילית מחזיר שטח בסימן מינוס! 2. הדרך האלגברית (המשפט היסודי): זכרו שהאינטגרל של הנגזרת הוא פשוט הפונקציה המקורית! פתרו את האינטגרל באופן תיאורטי: הציבו את הגבול העליון פחות הגבול התחתון ( \(= f(t) - f(k)\) ), ואז בדקו בגרף מי מהם גבוה יותר.
נתחיל מלפתור את האינטגרל באופן תיאורטי. אנו יודעים שהפונקציה הקדומה של הנגזרת \( f'(x) \) היא הפונקציה המקורית \( f(x) \): \( \int_{k}^{t} f'(x) \,dx = \left[ f(x) \right]_{k}^{t} = f(t) - f(k) \) כעת, עלינו לברר את הסימן של ההפרש \( f(t) - f(k) \). נחזור לגרף ולנתונים: - נתון כי \( t > k > 3 \). כלומר, אנו מסתכלים על הענף הימני ביותר בגרף. - בתחום זה, הגרף צונח מלמעלה ושואף לאסימפטוטה \( y=1 \). במילים אחרות, הפונקציה במגמת ירידה. - בפונקציה יורדת, ככל שה-\(x\) גדול יותר, כך ה-\(y\) קטן יותר. - מכיוון ש- \( t > k \), הערך של הפונקציה ב-\(t\) נמצא נמוך יותר מהערך שלה ב-\(k\). כלומר: f(t) < f(k). אם נחסיר מספר גדול ממספר שקטן ממנו, התוצאה תהיה שלילית! מסקנה: \( f(t) - f(k) < 0 \), ולכן האינטגרל שלילי.
מושגים: המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, פונקציות יורדות
ננסה לדמיין איך נראה הגרף של הנגזרת \( f'(x) \) בתחום שבו \( x > 3 \). - ראינו שבתחום זה הפונקציה המקורית יורדת. - כאשר פונקציה יורדת, הנגזרת שלה שלילית. - מכאן, שהגרף של פונקציית הנגזרת \( f'(x) \) בתחום מימין ל-3 נמצא כולו מתחת לציר ה-\(x\). כעת נביט באינטגרל המסוים המבוקש. האינטגרל מחושב משמאל לימין (מהגבול הקטן \(k\) אל הגדול \(t\)). אולם, הפונקציה שאותה אנו עושים לה אינטגרציה (\( f'(x) \)) היא שלילית. כאשר מחשבים אינטגרל מסוים לפונקציה הנמצאת מתחת לציר ה-\(x\), ולא מבצעים חסור של פונקציה עליונה (אפס) פחות פונקציה תחתונה, התוצאה שנקבל היא הערך של השטח אבל בסימן שלילי. מסקנה: מכיוון ש- \( f'(x) < 0 \) בתחום זה, האינטגרל המסוים יחזיר ערך שלילי.
מושגים: קשר פונקציה ונגזרת, אינטגרל מסוים כשטח מכוון
התשובה הסופית: סימן האינטגרל הוא שלילי.
נתונים: לפניכם סקיצה של גרף הפונקציה f(x) כפי שהתקבלה בחקירה קודמת. - לפונקציה יש אסימפטוטות אנכיות ב- x=−3 וב- x=3. - לפונקציה יש אסימפטוטות אופקיות: y=−1 (עבור x→−∞) ו- y=1 (עבור x→∞).
סקיצת הפונקציה המקורית f(x) (בין -3 ל-3 הגרף אינו מוגדר) נתונים שני פרמטרים k ו-t המקיימים את אי-השוויון הבא: t>k>3 מצאו את הסימן של האינטגרל המסוים הבא: ∫ktf′(x)dx האם ערך האינטגרל הוא חיובי, שלילי או אפס? נמקו את תשובתכם.
