בסרטוט נתון גרף פונקציית הנגזרת $g'(x)$. ידוע כי הישר $y = 1$ הוא אסימפטוטה אופקית של פונקציית הנגזרת. הסבר מדוע לפונקציה המקורית $g(x)$ אין אסימפטוטה אופקית.
שאלות של "הסבר מדוע לא..." הן מתנה, כי הן בודקות הבנה נטו ולא דורשות חישובים ארוכים. הסוד פה הוא לזכור מה הנגזרת באמת אומרת לנו: הנגזרת היא שיפוע המשיק! תדמיינו פונקציה שיש לה אסימפטוטה אופקית (נניח ציר ה-x). בקצוות שלה, הפונקציה הופכת להיות "שטוחה", כמעט אופקית לחלוטין. מה השיפוע של קו אופקי? אפס! לכן, כדי שלפונקציה המקורית תהיה אסימפטוטה אופקית, הנגזרת שלה (השיפוע שלה) חייבת לשאוף לאפס בקצוות. תסתכלו על הגרף של הנגזרת שלנו... לאיזה מספר היא שואפת? ל-1! זה אומר שבקצוות, הפונקציה המקורית ממשיכה לעלות בשיפוע קבוע של 1 (כמו הישר $y=x$). פונקציה שעולה בשיפוע 1 בחיים לא תתיישר לאסימפטוטה אופקית!
נשאל את עצמנו: מה נדרש מפונקציה $g(x)$ כדי שתהיה לה אסימפטוטה אופקית? כאשר לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית, הגרף שלה נצמד לישר מסוים (ערך $y$ קבוע) עבור ערכי $x$ גדולים מאוד (או קטנים מאוד). במילים אחרות, הגרף הופך להיות כמעט אופקי לחלוטין בקצוות. מכיוון שהגרף מתיישר, המשיקים לגרף בנקודות אלו הופכים להיות כמעט אופקיים. שיפוע של קו אופקי הוא 0. לכן, כדי שלפונקציה תהיה אסימפטוטה אופקית, שיפוע המשיק שלה בקצוות חייב לשאוף לאפס. $$ g(x) \text{ has a horizontal asymptote} \implies \lim_{x \to \pm\infty} g'(x) = 0 $$
מושגים: הקשר ההדוק בין פונקציה לנגזרתה בקצוות
פונקציית הנגזרת $g'(x)$ מבטאת את שיפוע המשיק של הפונקציה המקורית $g(x)$ בכל נקודה. על פי הגרף הנתון והנתונים בשאלה, לגרף הנגזרת $g'(x)$ יש אסימפטוטה אופקית $y = 1$. המשמעות היא שכאשר אנו מתרחקים בקצוות (ימינה או שמאלה), ערך הנגזרת מתקרב ל-1. $$ \lim_{x \to \pm\infty} g'(x) = 1 $$ הנגזרת "אומרת לנו" שלקראת הקצוות, השיפוע של הפונקציה המקורית מתקרב ל-1, כלומר, הפונקציה $g(x)$ עולה בשיפוע קבוע (מזכירה את התנהגות הישר $y=x$).
מושגים: הבנה גרפית של משמעות הנגזרת
ראינו בשלב 1 שכדי שתהיה אסימפטוטה אופקית לפונקציה, הנגזרת שלה חייבת לשאוף לאפס בקצוות. במקרה שלנו, הנגזרת אינה מתקרבת לאפס, אלא ל-1. כתוצאה מכך, הפונקציה המקורית $g(x)$ לא משתטחת ואינה מתקרבת לערך קבוע כלשהו. מסקנה: לפונקציה המקורית $g(x)$ אין אסימפטוטה אופקית.
התשובה הסופית: הנגזרת $g'(x)$ שואפת ל-1 כאשר $x \to \pm\infty$. כלומר, שיפוע המשיק לפונקציה $g(x)$ בקצוות אינו שואף לאפס. פונקציה ששיפועה אינו מתאפס לעולם אינה יכולה "להתיישר", ולכן אין לה אסימפטוטה אופקית.
בסרטוט נתון גרף פונקציית הנגזרת g′(x). ידוע כי הישר y=1 הוא אסימפטוטה אופקית של פונקציית הנגזרת. הסבר מדוע לפונקציה המקורית g(x) אין אסימפטוטה אופקית.
