מספרים מרוכבים · מישור גאוס ומעגל היחידה

השאלה

נתון מספר מרוכב $ z $ הנמצא על מעגל היחידה, כלומר ניתן להציגו בצורה: $ z = \cos\alpha + i\sin\alpha $ ($ 0^\circ \le \alpha \le 360^\circ $) נתון כי $ z $ מקיים את המשוואה הבאה: $ 2z\bar{z} = z + \bar{z} - i(z - \bar{z}) $ 1. מצאו את הזווית $ \alpha $ ואת המספר המרוכב $ z $ (מצאו את שתי האפשרויות). 2. שני הפתרונות של $ z $ שמצאתם בסעיף א' הם קודקודי הבסיס של משולש שווה שוקיים החסום במעגל היחידה. מצאו את המספר המרוכב המייצג את קודקוד הראש של המשולש (מצאו את שתי האפשרויות). 3. חשבו את שטח המרובע שקודקודים שלו מיוצגים על ידי ארבעת המספרים המרוכבים שמצאתם בסעיפים א' ו-ב'.

הטיפ של עובד

מעגל היחידה = רדיוס 1: כשנאמר ש-$z$ על מעגל היחידה, המשמעות היא ש- $ R = 1 $. מכאן נובעת זהות קריטית: $ |z|^2 = x^2 + y^2 = 1 $. ובמספרים מרוכבים ידוע כי $ z \cdot \bar{z} = |z|^2 $, לכן אפשר מיד להציב במשוואה $ z\bar{z} = 1 $. מתי לעבור להצגה אלגברית? כשיש במשוואה פעולות של חיבור וחיסור (כמו $ z + \bar{z} $), הרבה יותר נוח להציב $ z = x+yi $ מאשר להשתמש בהצגה טריגונומטרית (cis). גאומטריה במישור גאוס: משולש שווה שוקיים החסום במעגל מביא לכך שקודקוד הראש חייב לשבת על האנך האמצעי של הבסיס. האנך האמצעי תמיד עובר דרך מרכז המעגל החוסם (ראשית הצירים)!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א': מציאת $ z $ מתוך המשוואה

נתון כי המספר נמצא על מעגל היחידה. לכן, הרדיוס שלו הוא 1. מכאן נובעת משוואה ראשונה: $ x^2 + y^2 = 1 $ וכן $ z \cdot \bar{z} = 1 $ נציב את ההצגה האלגברית $ z = x+yi $ ו- $ \bar{z} = x-yi $ במשוואה הנתונה: $ 2(1) = (x+yi) + (x-yi) - i((x+yi) - (x-yi)) $ נפשט את אגף ימין: $ 2 = 2x - i(2yi) $ $ 2 = 2x - 2yi^2 $ מכיוון ש- $ i^2 = -1 $, מתקבל: $ 2 = 2x + 2y \implies x + y = 1 $ כעת יש לנו מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים. נבודד את $ y $ ונציב במשוואת המעגל: $ y = 1 - x $ $ x^2 + (1-x)^2 = 1 $ $ x^2 + 1 - 2x + x^2 = 1 $ $ 2x^2 - 2x = 0 \implies 2x(x - 1) = 0 $ מכאן מתקבלות שתי תוצאות אפשריות ל- $ x $: אפשרות 1: $ x = 0 $ $ y = 1 - 0 = 1 $ $ z_1 = i $ $ \alpha = 90^\circ $ אפשרות 2: $ x = 1 $ $ y = 1 - 1 = 0 $ $ z_2 = 1 $ $ \alpha = 0^\circ $

מושגים: הצגה אלגברית של מספר מרוכב, מעגל היחידה, פתרון משוואות מרוכבות

שלב 2: סעיף ב': מציאת קודקודי הראש של המשולש במישור גאוס

בסיס המשולש מונח בין הנקודות $ z_1 = i $ (שעוריו $ (0,1) $) לבין $ z_2 = 1 $ (שעוריו $ (1,0) $). במשולש שווה שוקיים החסום במעגל, קודקוד הראש חייב להימצא על האנך האמצעי לבסיס. מרכז המעגל החוסם (0,0) תמיד נמצא על האנך האמצעי. האנך האמצעי לקטע המחבר את $ (1,0) $ ו-$ (0,1) $ הוא בדיוק הישר $ y = x $ (החוצה את הרביע הראשון והשלישי). הישר הזה חותך את מעגל היחידה בדיוק בזוויות של $ 45^\circ $ ו-$ 225^\circ $. שתי האפשרויות לקודקוד הראש הן הקצוות של קוטר זה: $ z_{3a} = \text{cis}(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ z_{3b} = \text{cis}(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} $

מושגים: מישור גאוס, גאומטריה של מספרים מרוכבים, הצגה טריגונומטרית (cis)

שלב 3: סעיף ג': חישוב שטח המרובע והמחשה ויזואלית

המרובע שלנו בנוי מארבעת הקודקודים: $ z_1, z_2, z_{3a}, z_{3b} $. מכיוון ש- $ z_{3a} $ ו-$ z_{3b} $ מונחים על האנך האמצעי של הקטע $ z_1z_2 $, המרובע שנוצר הוא דלתון (שבו האלכסונים מאונכים זה לזה). שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים הוא מחצית מכפלת האלכסונים: $ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} $. - אלכסון ראשי ($d_1$): מחבר בין שני קודקודי הראש $ z_{3a} $ ו-$ z_{3b} $. כיוון שהם בקצוות מנוגדים של מעגל היחידה, זהו קוטר המעגל. אורכו: $ d_1 = 2 $. - אלכסון משני ($d_2$): זהו בסיס המשולש המחבר בין $ (1,0) $ ל-$ (0,1) $. לפי פיתגורס, אורכו: $ d_2 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $. $ S = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $ ויזואליזציה במישור גאוס: הדלתון ואלכסוניו על מעגל היחידה

מושגים: שטח מרובע, דלתון במישור גאוס

תשובה סופית

התשובה הסופית: א. $ z_1 = i $ ($ \alpha = 90^\circ $) ו- $ z_2 = 1 $ ($ \alpha = 0^\circ $). ב. $ z_3 = \text{cis}(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} $ או $ z_3 = \text{cis}(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} $. ג. שטח המרובע: $ S = \sqrt{2} $ יח"ש.

חזרה לקטלוג

#227מספרים מרוכבים

מישור גאוס ומעגל היחידה

קראו את השאלה

שאלה

נתון מספר מרוכב $z$ הנמצא על מעגל היחידה, כלומר ניתן להציגו בצורה: $z = \cos\alpha + i\sin\alpha$ ( $0^\circ \le \alpha \le 360^\circ$ ) נתון כי $z$ מקיים את המשוואה הבאה: $2z\bar{z} = z + \bar{z} - i(z - \bar{z})$ 1. מצאו את הזווית $\alpha$ ואת המספר המרוכב $z$ (מצאו את שתי האפשרויות). 2. שני הפתרונות של $z$ שמצאתם בסעיף א' הם קודקודי הבסיס של משולש שווה שוקיים החסום במעגל היחידה. מצאו את המספר המרוכב המייצג את קודקוד הראש של המשולש (מצאו את שתי האפשרויות). 3. חשבו את שטח המרובע שקודקודים שלו מיוצגים על ידי ארבעת המספרים המרוכבים שמצאתם בסעיפים א' ו-ב'.