מספרים מרוכבים · משוואות ריבועיות ומישור גאוס

השאלה

נתונה המשוואה הריבועית: $ Z^2 + p \cdot Z + p^2 = 0 $ שפתרונותיה $ Z_1 $ ו-$ Z_2 $ נמצאים בהתאמה ברביעים השני והשלישי. הפרמטר $ p $ ממשי וחיובי. א. הוכח שהפתרונות $ Z_1 $ ו-$ Z_2 $ נמצאים על אותו מעגל קנוני במישור גאוס. ב. המספרים המרוכבים $ Z_1 $ ו-$ Z_2 $ מיוצגים במישור גאוס על ידי הנקודות $ A $ ו-$ B $ בהתאמה. הנקודה $ C $ נמצאת על אותו מעגל קנוני כמו המספר $ Z_1 $. מצא את הגודל המקסימלי של זווית $ \angle ACB $. ג. נתון ש-$ Z_3 $ הוא מספר מרוכב הנמצא מחוץ למעגל היחידה. המספרים $ Z_2 $ ו-$ Z_3 $ נמצאים על אותו מעגל קנוני. קבע עבור המספרים הבאים האם הם בתוך מעגל היחידה, על המעגל או מחוץ לו: 1. $ \overline{Z_3} $, 2. $ \frac{1}{Z_3} $, 3. $ \left(\frac{Z_2}{Z_3}\right)^n $ (n טבעי).

הטיפ של עובד

שורשים צמודים: משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים (במקרה שלנו, הפרמטר $p$ ממשי) תמיד תניב פתרונות צמודים כאשר הדיסקרימיננטה (דלתא) שלילית. למספרים צמודים יש תמיד מודולוס (רדיוס) שווה! לכן הם אוטומטית על אותו מעגל קנוני. זווית היקפית במישור גאוס: הנקודות מייצגות קודקודים על מעגל. מיתר $AB$ מחלק את המעגל לשתי קשתות (אחת גדולה ואחת קטנה). זווית היקפית גדולה יותר נשענת על הקשת *הגדולה*. סכום שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות משני צידי המיתר הוא $180^\circ$ (תכונת מרובע חסום במעגל). "בתוך/על/מחוץ" למעגל היחידה: שאלה כזו מבקשת מכם לחשב *רק* את המודולוס (הערך המוחלט) של המספר המרוכב! האם המודולוס קטן מ-1, שווה ל-1 או גדול מ-1? חוקי ערך מוחלט (מודולוס של מכפלה או מנה) הופכים את הסעיף הזה למשחק פשוט בלי לחשב זוויות בכלל.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א': הוכחת פתרונות על מעגל קנוני אחד

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים. המקדמים הם: $ a = 1, b = p, c = p^2 $. \[ Z_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4 \cdot 1 \cdot p^2}}{2} = \frac{-p \pm \sqrt{-3p^2}}{2} \] כיוון ש-$ p $ הוא מספר ממשי (ולכן $ p^2 > 0 $), נוכל להוציא את ה-$ -1 $ מהשורש בתור $ i $: \[ Z_{1,2} = \frac{-p \pm i \sqrt{3p^2}}{2} = -\frac{p}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}p}{2} \] נתון כי $ p $ ממשי וחיובי. לכן, החלק הממשי $ \left(-\frac{p}{2}\right) $ הוא שלילי. נתון כי $ Z_1 $ ממוקם ברביע השני (שבו הממשי שלילי והמדומה חיובי), ולכן: \[ Z_1 = -\frac{p}{2} + i \frac{\sqrt{3}p}{2} \] \[ Z_2 = -\frac{p}{2} - i \frac{\sqrt{3}p}{2} \] על מנת להוכיח שהם על אותו מעגל קנוני (מעגל שמרכזו בראשית הצירים), נוכיח שהמרחק שלהם מראשית הצירים - המודולוס (הרדיוס $ R $) - שווה. \[ |Z_1| = \sqrt{\left(-\frac{p}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}p}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{p^2}{4} + \frac{3p^2}{4}} = \sqrt{\frac{4p^2}{4}} = \sqrt{p^2} = p \] (מכיוון ש-$ p > 0 $, שורש של $ p^2 $ הוא פשוט $ p $). כיוון ש-$ Z_1 $ ו-$ Z_2 $ הם מספרים צמודים, הערך המוחלט שלהם שווה. מסקנה: שני הפתרונות נמצאים על מעגל קנוני שרדיוסו $ p $.

מושגים: פתרון משוואה ריבועית מרוכבת

שלב 2: סעיף ב': מציאת הזווית ההיקפית המקסימלית

נמצא תחילה את הזווית של כל מספר (הארגומנט). ידוע לנו שהמודולוס הוא $ R = p $: \[ \cos \theta_1 = \frac{-\frac{p}{2}}{p} = -\frac{1}{2} \quad \implies \quad \theta_1 = 120^\circ \ \text{(רביע שני)} \] \[ \cos \theta_2 = \frac{-\frac{p}{2}}{p} = -\frac{1}{2} \quad \implies \quad \theta_2 = 240^\circ \ \text{(רביע שלישי)} \] הנקודות $ A $ ו-$ B $ פורסות זווית מרכזית ($ \angle AOB $) במעגל בגודל: $ 240^\circ - 120^\circ = 120^\circ $. המיתר $ AB $ מחלק את המעגל לשתי קשתות: הקשת הקטנה (שלה מתאימה הזווית המרכזית $ 120^\circ $), והקשת הגדולה (שלה מתאימה זווית מרכזית משלימה ל-360, כלומר $ 240^\circ $). הזווית $ \angle ACB $ היא זווית היקפית הנשענת על המיתר $ AB $. קיימות שתי אפשרויות לפי מיקום הנקודה $ C $: אפשרות 1: $ C $ נמצאת על הקשת הגדולה ($ C_1 $ בשרטוט). במקרה זה, היא נשענת על הקשת הקטנה שגודלה המרכזי $ 120^\circ $. זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית: \[ \angle AC_1B = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \] אפשרות 2: $ C $ נמצאת על הקשת הקטנה ($ C_2 $ בשרטוט). במקרה זה, היא נשענת על הקשת הגדולה שגודלה המרכזי $ 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ $. זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית: \[ \angle AC_2B = \frac{240^\circ}{2} = 120^\circ \] מכאן שהגודל המקסימלי של הזווית הוא $ 120^\circ $.

מושגים: תכונות הזווית ההיקפית במישור גאוס

שלב 3: סעיף ג': מיקום ביחס למעגל היחידה

מעגל היחידה הוא מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו $ R=1 $. כדי לקבוע אם מספר מרוכב נמצא בתוך, על או מחוץ למעגל היחידה, אנו צריכים לחשב את המודולוס (הרדיוס) שלו בלבד: קטן מ-1, שווה ל-1, או גדול מ-1 בהתאמה. מהנתונים נסיק את ערכי המודולוס: נתון ש-$ Z_3 $ מחוץ למעגל היחידה, לכן: $ |Z_3| > 1 $. נתון ש-$ Z_2 $ ו-$ Z_3 $ נמצאים על אותו מעגל קנוני, כלומר המודולוס שלהם שווה: $ |Z_2| = |Z_3| > 1 $. עבור המספר $ \overline{Z_3} $: מודולוס של מספר שווה למודולוס של הצמוד שלו: $ |\overline{Z_3}| = |Z_3| $. כיוון ש-$ |Z_3| > 1 $, הרי שגם $ |\overline{Z_3}| > 1 $. עבור המספר $ \frac{1}{Z_3} $: לפי חוקי ערך מוחלט: $ \left|\frac{1}{Z_3}\right| = \frac{|1|}{|Z_3|} = \frac{1}{|Z_3|} $. כיוון שהמכנה גדול מ-1 ($ |Z_3| > 1 $), השבר עצמו קטן מ-1. עבור המספר $ \left(\frac{Z_2}{Z_3}\right)^n $: לפי חוקי ערך מוחלט במכפלות ומנות: $ \left| \left(\frac{Z_2}{Z_3}\right)^n \right| = \left(\frac{|Z_2|}{|Z_3|}\right)^n $. כיוון שנתון $ |Z_2| = |Z_3| $, היחס בניהם הוא בדיוק 1. ו- $ 1^n = 1 $.

מושגים: מודולוס ומעגל היחידה

תשובה סופית

התשובה הסופית: א. שני הפתרונות ממוקמים על מעגל שרדיוסו $ R = p $. ב. הגודל המקסימלי: $ \angle ACB = 120^\circ $ ג. מיקומים ביחס למעגל היחידה: 1. $ \overline{Z_3} $ מחוץ למעגל, 2. $ \frac{1}{Z_3} $ בתוך המעגל, 3. $ \left(\frac{Z_2}{Z_3}\right)^n $ על המעגל.

חזרה לקטלוג

#234מספרים מרוכבים

משוואות ריבועיות ומישור גאוס

קראו את השאלה

שאלה

נתונה המשוואה הריבועית: $Z^2 + p \cdot Z + p^2 = 0$ שפתרונותיה $Z_1$ ו- $Z_2$ נמצאים בהתאמה ברביעים השני והשלישי. הפרמטר $p$ ממשי וחיובי. א. הוכח שהפתרונות $Z_1$ ו- $Z_2$ נמצאים על אותו מעגל קנוני במישור גאוס. ב. המספרים המרוכבים $Z_1$ ו- $Z_2$ מיוצגים במישור גאוס על ידי הנקודות $A$ ו- $B$ בהתאמה. הנקודה $C$ נמצאת על אותו מעגל קנוני כמו המספר $Z_1$ . מצא את הגודל המקסימלי של זווית $\angle ACB$ . ג. נתון ש- $Z_3$ הוא מספר מרוכב הנמצא מחוץ למעגל היחידה. המספרים $Z_2$ ו- $Z_3$ נמצאים על אותו מעגל קנוני. קבע עבור המספרים הבאים האם הם בתוך מעגל היחידה, על המעגל או מחוץ לו: 1. $\overline{Z_3}$ , 2. $\frac{1}{Z_3}$ , 3. $\left(\frac{Z_2}{Z_3}\right)^n$ (n טבעי).