מספרים מרוכבים · מקומות גיאומטריים במישור גאוס

שלב 1: סעיף א': מציאת המקום הגיאומטרי

נכפיל את שני אגפי המשוואה במכנה כדי להיפטר מהשבר: \[ |z^2 + 2i| = |z^2 + 4i| \] נבטא את \( z^2 \) בעזרת ההצגה האלגברית \( z = x + iy \): \[ z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2xyi + i^2y^2 = x^2 - y^2 + 2xyi \] נציב זאת חזרה במשוואת הערכים המוחלטים ונקבץ איברים לחלק ממשי וחלק מדומה: \[ |(x^2 - y^2) + 2xyi + 2i| = |(x^2 - y^2) + 2xyi + 4i| \] \[ |(x^2 - y^2) + i(2xy + 2)| = |(x^2 - y^2) + i(2xy + 4)| \] נשתמש בהגדרת הערך המוחלט של מספר מרוכב \( |a+bi| = \sqrt{a^2+b^2} \) ונעלה מיד את שני האגפים בריבוע: \[ (x^2 - y^2)^2 + (2xy + 2)^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy + 4)^2 \] נחסר \( (x^2 - y^2)^2 \) משני האגפים ונפתח את הסוגריים הנותרים: \[ (2xy + 2)^2 = (2xy + 4)^2 \] \[ 4x^2y^2 + 8xy + 4 = 4x^2y^2 + 16xy + 16 \] נצמצם את \( 4x^2y^2 \) ונעביר אגפים כדי לבודד את \( xy \): \[ 8xy + 4 = 16xy + 16 \] \[ -12 = 8xy \] \[ xy = -1.5 \implies y = -\frac{1.5}{x} \] המקום הגיאומטרי הוא היפרבולה שמשוואתה \( y = -\frac{1.5}{x} \).

מושגים: מקומות גיאומטריים של מספרים מרוכבים

שלב 2: סעיף ב': זיהוי רביעים

קיבלנו את המשוואה \( xy = -1.5 \). מכיוון שמכפלת השיעורים \( x \cdot y \) היא מספר שלילי, המסקנה היא של-\( x \) ול-\( y \) חייבים להיות סימנים מנוגדים. - כאשר \( x < 0 \) אז \( y > 0 \): זה קורה ברביע השני. - כאשר \( x > 0 \) אז \( y < 0 \): זה קורה ברביע הרביעי.

שלב 3: סעיף ג': חיתוך המקום הגיאומטרי עם המשוואה הנוספת

נתונה משוואה נוספת המייצגת מעגל סביב הראשית: \[ |z|^2 = 3.25 \implies x^2 + y^2 = 3.25 \] נציב את הביטוי שמצאנו בסעיף א' (\( y = -\frac{1.5}{x} \)) לתוך משוואת המעגל: \[ x^2 + \left(-\frac{1.5}{x}\right)^2 = 3.25 \] \[ x^2 + \frac{2.25}{x^2} = 3.25 \] נציב משתנה עזר \( t = x^2 \) (כאשר \( t > 0 \)) ונכפיל ב-\( t \): \[ t + \frac{2.25}{t} = 3.25 \] \[ t^2 - 3.25t + 2.25 = 0 \] נפתור את המשוואה הריבועית באמצעות נוסחת השורשים: \[ t_{1,2} = \frac{3.25 \pm \sqrt{(-3.25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2.25}}{2} = \frac{3.25 \pm \sqrt{10.5625 - 9}}{2} = \frac{3.25 \pm 1.25}{2} \] מכאן נקבל שני פתרונות ל-\( t \): אפשרות 1: \( t_1 = \frac{4.5}{2} = 2.25 \). נחזור ל-\( x \): \( x^2 = 2.25 \implies x = 1.5 \) או \( x = -1.5 \). אם \( x = 1.5 \), אז \( y = -\frac{1.5}{1.5} = -1 \). הנקודה: \( (1.5, -1) \). אם \( x = -1.5 \), אז \( y = -\frac{1.5}{-1.5} = 1 \). הנקודה: \( (-1.5, 1) \). אפשרות 2: \( t_2 = \frac{2}{2} = 1 \). נחזור ל-\( x \): \( x^2 = 1 \implies x = 1 \) או \( x = -1 \). אם \( x = 1 \), אז \( y = -\frac{1.5}{1} = -1.5 \). הנקודה: \( (1, -1.5) \). אם \( x = -1 \), אז \( y = -\frac{1.5}{-1} = 1.5 \). הנקודה: \( (-1, 1.5) \).

מושגים: מערכת משוואות ממעלה שנייה

שלב 4: סעיף ד': סוג המרובע והמחשה

ארבעת הנקודות שמצאנו הן קודקודי מרובע. נסתכל עליהן: \( A(1.5, -1), \quad B(1, -1.5), \quad C(-1.5, 1), \quad D(-1, 1.5) \) ניתן לראות שקיימת סימטריה מלאה סביב ראשית הצירים (0,0): הנקודה \( A \) נגדית לנקודה \( C \) (כלומר \( C = -A \)), לכן הקטע \( AC \) הוא אלכסון שעובר בראשית ונחצה בה. הנקודה \( B \) נגדית לנקודה \( D \) (כלומר \( D = -B \)), לכן גם הקטע \( BD \) עובר בראשית ונחצה בה. כאשר במרובע האלכסונים חוצים זה את זה, הוא מקבילית. בנוסף, מתוך הנתון של סעיף ג', ידוע לנו שכל הנקודות מונחות על המעגל \( |z|^2 = 3.25 \), כלומר מרחק כולן מהראשית זהה (\( R = \sqrt{3.25} \)). המשמעות היא שהאלכסונים שווים באורכם (כל אחד מהם הוא קוטר במעגל באורך \( 2R \)). מקבילית שאלכסוניה שווים היא מלבן. ויזואליזציה במישור גאוס: חיתוך ההיפרבולה והמעגל יוצר מלבן

מושגים: סיווג מרובעים במישור גאוס