חזרה לקטלוג
#231מספרים מרוכבים
מקומות גיאומטרייםקראו את השאלה
שאלה
מהו המקום הגיאומטרי במישור גאוס שמייצג את המשוואה הבאה? ( הוא מספר מרוכב)
מספרים מרוכבים · מקומות גיאומטריים
השאלה
מהו המקום הגיאומטרי במישור גאוס שמייצג את המשוואה הבאה? \( \left| \frac{z+2}{z+0.5} \right| = 2 \) (\( z \) הוא מספר מרוכב)
הטיפ של עובד
כשאתם רואים מנה של מספרים מרוכבים בתוך ערך מוחלט, אל תנסו לבצע חילוק מרוכבים (כפל בצמוד של המכנה) בתוך הערך המוחלט! זה יוביל לביטויים אלגבריים ארוכים, מסורבלים, והמון מקום לטעויות. במקום זאת, השתמשו בכלל הזהב: ערך מוחלט של מנה שווה למנת הערכים המוחלטים. כלומר, הפרידו את זה מיד ל: \( \frac{|z+2|}{|z+0.5|} = 2 \), וכפלו במכנה כדי לקבל משוואה הרבה יותר נוחה לעבודה בלי שברים.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: שלב 1: שימוש בחוקי ערך מוחלט ופישוט המשוואה
נשתמש בתכונה של ערכים מוחלטים במספרים מרוכבים: \( \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \). \( \frac{|z + 2|}{|z + 0.5|} = 2 \) נכפול את שני האגפים במכנה כדי להיפטר מהשבר: \( |z + 2| = 2 \cdot |z + 0.5| \)
מושגים: תכונות ערך מוחלט, משוואות במישור גאוס
שלב 2: שלב 2: הצבה ומציאת אורך הוקטור (מודולוס)
נציב במקום \( z \) את ההצגה האלגברית הרגילה שלו: \( z = x + yi \), כאשר \( x \) ו-\( y \) הם מספרים ממשיים. \( |(x + yi) + 2| = 2 \cdot |(x + yi) + 0.5| \) נרכז יחד את החלק הממשי ואת החלק המדומה בכל אחד מהאגפים: \( |(x + 2) + yi| = 2 \cdot |(x + 0.5) + yi| \) נשתמש בנוסחה לאורך של מספר מרוכב \( |A + Bi| = \sqrt{A^2 + B^2} \): \( \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = 2 \cdot \sqrt{(x + 0.5)^2 + y^2} \)
מושגים: הצגה אלגברית של מספר מרוכב, מודולוס של מספר מרוכב
שלב 3: שלב 3: אלגברה - העלאה בריבוע וכינוס איברים
כדי להיפטר מהשורשים, נעלה את שני אגפי המשוואה בריבוע. שימו לב! יש להעלות גם את המספר 2 שבאגף ימין בריבוע (הוא הופך ל-4). \( (x + 2)^2 + y^2 = 4 \cdot \left[ (x + 0.5)^2 + y^2 \right] \) נפתח סוגריים (לפי נוסחאות כפל מקוצר): \( x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4 \cdot (x^2 + x + 0.25 + y^2) \) נכניס את ה-4 פנימה לאגף ימין: \( x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4x^2 + 4x + 1 + 4y^2 \) נשים לב שהאיבר \( 4x \) מופיע בשני האגפים בסימן חיובי, ולכן הוא מצטמצם ונעלם! נעביר את כל האיברים לאגף ימין: \( 4x^2 - x^2 + 4y^2 - y^2 = 4 - 1 \) \( 3x^2 + 3y^2 = 3 \)
מושגים: אלגברה - פתיחת סוגריים, כינוס איברים
שלב 4: שלב 4: מסקנה וזיהוי המקום הגיאומטרי
נחלק את המשוואה שקיבלנו ב-3 ונקבל: \( x^2 + y^2 = 1 \) משוואה זו היא משוואה קלאסית של מעגל בגיאומטריה אנליטית (ובמישור גאוס). היא מתארת אוסף של כל הנקודות שהמרחק שלהן מראשית הצירים (0,0) הוא בדיוק 1. המקום הגיאומטרי הוא מעגל היחידה. מעגל היחידה במישור גאוס
מושגים: משוואת מעגל, מעגל היחידה
תשובה סופית
התשובה הסופית: המקום הגיאומטרי הוא מעגל היחידה: \( x^2 + y^2 = 1 \) מעגל קנוני שמרכזו בראשית הצירים (0,0) ורדיוסו R=1.