מספרים מרוכבים · גאומטריה במישור גאוס וסדרות מרוכבות
השאלה
נתונות הנקודות \( D, C, B, A \) במישור גאוס הנמצאות בהתאמה ברביעים \( \text{IV}, \text{III}, \text{II}, \text{I} \). המספרים \( z_4, z_3, z_2, z_1 \) מייצגים בהתאמה את הנקודות \( D, C, B, A \). נתון כי המרובע \( \text{ABCD} \) שנוצר הוא מעוין וכי \( \frac{\text{AC}}{\text{BD}} = \frac{1}{2} \). נסמן: \( |z_3| = r \), ו- \( \text{arg}(z_3) = \theta \). א-1) סרטט סקיצה של המעוין \( \text{ABCD} \). א-2) הבע באמצעות \( r \) ו-\( \theta \) את \( z_1, z_2, z_3, z_4 \). נתון: אורך צלע המעוין הוא \( 2\sqrt{5} \). ב) חשב את שטח המעוין. נגדיר מספר מרוכב חדש \( w \) המקיים: \( w = \frac{z_2 - z_4}{z_3} \). ג-1) הראה כי המספר \( w \) הוא מספר מדומה טהור. ג-2) נתונה סדרה חשבונית שבה האיבר הראשון \( a_1 = \sqrt{3} \cdot z_1 \) והפרש הסדרה הוא \( d = \frac{1}{2}w \). ידוע כי עבור \( n=4 \) הסכום \( S_n \) הוא מספר ממשי טהור. חשב את \( \theta \).
הטיפ של עובד
סימטריה סביב הראשית: כשאומרים לכם שקודקודי מעוין מונחים בהתאמה בארבעת הרביעים, המשמעות המיידית היא שראשית הצירים (0,0) היא נקודת מפגש האלכסונים. זה אומר ש-\(z_1\) ו-\(z_3\) נגדיים, וכך גם \(z_2\) ו-\(z_4\).
סיבוב במישור גאוס: במעוין, האלכסונים מאונכים זה לזה. במישור גאוס, הגעה מאלכסון אחד לשני משמעותה סיבוב ב-\(90^\circ\). סיבוב של 90 מעלות נגד כיוון השעון (מהרביע הראשון לשני) אומר פשוט: להוסיף \(90^\circ\) לארגומנט (הזווית).
ממשי או מדומה טהור? כשמבקשים מכם להראות שמספר הוא ממשי טהור – החלק המדומה שלו חייב להתאפס (Im=0). מדומה טהור? החלק הממשי מתאפס (Re=0). תמיד הפרידו לחלק ממשי ולחלק מדומה לפני השוואה.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א-1: סרטוט סקיצה של המעוין
נתון כי הקודקודים \( A, B, C, D \) נמצאים ברביעים I, II, III, IV בהתאמה. במעוין סימטרי כזה, מפגש האלכסונים שלו נמצא בראשית הצירים (0,0). לפי הנתון, אורך האלכסון \( AC \) קטן פי 2 מאורך האלכסון \( BD \). כמו כן אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה.
מושגים: תכונות גיאומטריות במישור גאוס
שלב 2: סעיף א-2: הבעת הקודקודים באמצעות \( r \) ו-\( \theta \)
נתון לנו כי \( z_3 = r\text{cis}(\theta) \). מכיוון ש-\( C \) ברביע השלישי, \( 180^\circ < \theta < 270^\circ \). מציאת \( z_1 \): הנקודה \( A \) מנוגדת ל-\( C \) (סימטריה במעוין סביב הראשית), ולכן \( z_1 = -z_3 \). מבחינת הצגה קוטבית, קודקוד נגדי שומר על אותו רדיוס, אך הזווית זזה ב-\( 180^\circ \). כדי ש-\( z_1 \) יהיה ברביע הראשון נקזז \( 180^\circ \): \[ z_1 = r\text{cis}(\theta - 180^\circ) \] מציאת \( z_2 \): אלכסוני המעוין מאונכים. כדי להגיע מהאלכסון \( OA \) לאלכסון \( OB \) עלינו להסתובב \( 90^\circ \) נגד כיוון השעון (מהרביע הראשון לשני). כמו כן, נתון שהיחס \( \frac{\text{AC}}{\text{BD}} = \frac{1}{2} \), כלומר אלכסון \( BD \) כפול מאלכסון \( AC \). לכן: \( |z_2| = 2|z_1| = 2r \). \[ z_2 = 2r\text{cis}(\text{arg}(z_1) + 90^\circ) = 2r\text{cis}(\theta - 180^\circ + 90^\circ) \] \[ z_2 = 2r\text{cis}(\theta - 90^\circ) \] מציאת \( z_4 \): הנקודה \( D \) מנוגדת ל-\( B \), לכן \( z_4 = -z_2 \). נוסיף \( 180^\circ \) לזווית של \( z_2 \) כדי להגיע לרביע הרביעי: \[ z_4 = 2r\text{cis}(\theta - 90^\circ + 180^\circ) \] \[ z_4 = 2r\text{cis}(\theta + 90^\circ) \]
מושגים: מערכת אלגברית של מספרים מרוכבים במעוין
שלב 3: סעיף ב': חישוב שטח המעוין
נתון שאורך צלע המעוין הוא \( 2\sqrt{5} \). נסתכל על המשולש ישר הזווית \( \Delta AOB \), בו הניצבים הם חצאי האלכסונים: ניצב אחד באורך \( |z_1| = r \) והניצב השני באורך \( |z_2| = 2r \). לפי משפט פיתגורס: \[ (r)^2 + (2r)^2 = (2\sqrt{5})^2 \] \[ r^2 + 4r^2 = 4 \cdot 5 \] \[ 5r^2 = 20 \implies r^2 = 4 \implies r = 2 \] שטח מעוין שווה למחצית מכפלת אלכסוניו. אורך האלכסון הקצר \( AC = 2r \), ואורך האלכסון הארוך \( BD = 4r \). \[ S = \frac{AC \cdot BD}{2} = \frac{(2r)(4r)}{2} = \frac{(4)(8)}{2} = 16 \]
מושגים: תכונות גיאומטריות במישור גאוס
שלב 4: סעיף ג-1: הוכחת \( w \) כמספר מדומה טהור
הוגדר: \( w = \frac{z_2 - z_4}{z_3} \). נשתמש בנתון ש-\( z_4 = -z_2 \) כדי לפשט את המונה: \[ w = \frac{z_2 - (-z_2)}{z_3} = \frac{2z_2}{z_3} \] נציב את ההצגה הקוטבית שמצאנו (כאשר \( r=2 \)): \[ z_2 = 4\text{cis}(\theta - 90^\circ) \] \[ z_3 = 2\text{cis}(\theta) \] \[ w = \frac{2 \cdot 4\text{cis}(\theta - 90^\circ)}{2\text{cis}(\theta)} \] \[ w = \frac{8\text{cis}(\theta - 90^\circ)}{2\text{cis}(\theta)} = 4\text{cis}(\theta - 90^\circ - \theta) = 4\text{cis}(-90^\circ) \] מכיוון ש-\( \text{cis}(-90^\circ) = -i \), הרי ש: \( w = -4i \), ולכן זהו מספר מדומה טהור.
מושגים: התניית ממשי/מדומה טהור בביטוי מורכב
שלב 5: סעיף ג-2: סדרה חשבונית ומציאת \( \theta \)
נתוני הסדרה החשבונית הם: - \( d = \frac{1}{2}w = \frac{1}{2}(-4i) = -2i \) - \( a_1 = \sqrt{3} \cdot z_1 = \sqrt{3} \cdot [2\text{cis}(\theta - 180^\circ)] = 2\sqrt{3}\text{cis}(\theta - 180^\circ) \) נוח לנו לבטא את \( a_1 \) כפונקציה של \( \theta \) ישירות. כזכור, \( z_1 = -z_3 = -2\text{cis}\theta \). נציב: \( a_1 = -2\sqrt{3}\text{cis}\theta = -2\sqrt{3}(\cos\theta + i\sin\theta) \). סכום 4 האיברים הראשונים מחושב לפי נוסחת הסכום לסדרה חשבונית: \[ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] \implies S_4 = \frac{4}{2}[2a_1 + 3d] = 2(2a_1 + 3d) = 4a_1 + 6d \] נציב את הנתונים שמצאנו בתוך משוואת הסכום: \[ S_4 = 4[-2\sqrt{3}(\cos\theta + i\sin\theta)] + 6(-2i) \] \[ S_4 = -8\sqrt{3}\cos\theta - 8\sqrt{3}i\sin\theta - 12i \] נסדר לחלק ממשי ולחלק מדומה: \[ S_4 = (-8\sqrt{3}\cos\theta) + i(-8\sqrt{3}\sin\theta - 12) \] נתון ש-\( S_4 \) הוא מספר ממשי טהור, המשמעות היא שהחלק המדומה שלו מתאפס: \[ -8\sqrt{3}\sin\theta - 12 = 0 \] \[ 8\sqrt{3}\sin\theta = -12 \implies \sin\theta = \frac{-12}{8\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] מכיוון שהנקודה \( C \) (\( z_3 \)) נמצאת ברביע השלישי, הזווית שלנו מקיימת \( 180^\circ < \theta < 270^\circ \). הפתרון הרלוונטי למשוואה הטריגונומטרית בתחום זה הוא: \[ \theta = 240^\circ \]
מושגים: התניית ממשי/מדומה טהור בביטוי מורכב, סדרות מרוכבות
תשובה סופית
התשובה הסופית: א-1) ראה סרטט בפתרון המלא. א-2) \[ z_1 = r\text{cis}(\theta - 180^\circ) \] \[ z_2 = 2r\text{cis}(\theta - 90^\circ) \] \[ z_3 = r\text{cis}(\theta) \] \[ z_4 = 2r\text{cis}(\theta + 90^\circ) \] ב) שטח המעוין: \( S = 16 \) ג-1) \( w = -4i \) ג-2) הזווית: \( \theta = 240^\circ \)
