מספרים מרוכבים · חיבור מספרים מרוכבים ומעבר בין הצגות

שלב 1: המרת \( z \) להצגה אלגברית

כדי שנוכל לחבר את המספר \( 1 \) ל-\( z \), עלינו להמיר את \( z \) מהצגה קוטבית להצגה אלגברית. נשתמש בזהות \( r\text{cis}(\theta) = r(\cos\theta + i\sin\theta) \): \[ z = 4\text{cis}(60^\circ) = 4(\cos(60^\circ) + i\sin(60^\circ)) \] נציב את ערכי הפונקציות הטריגונומטריות מהמחשבון (או מטבלת זוויות מיוחדות: \( \cos(60^\circ) = 0.5 \) ו-\( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)): \[ z = 4\left(0.5 + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \] נפתח סוגריים: \[ z = 2 + 2\sqrt{3}i \]

מושגים: מעבר בין ההצגות השונות

שלב 2: חישוב הפעולה \( z + 1 \) (מציאת ההצגה האלגברית)

כעת נוסיף למספר שמצאנו את המספר הממשי 1. מכיוון ש-1 הוא ממשי טהור, הוא מתחבר רק לחלק הממשי של \( z \): \[ z + 1 = (2 + 2\sqrt{3}i) + 1 \] \[ z + 1 = 3 + 2\sqrt{3}i \] זוהי ההצגה האלגברית המבוקשת של המספר \( z+1 \).

מושגים: כלל הפעולות במרוכבים

שלב 3: המרת התוצאה להצגה טריגונומטרית

כדי למצוא את ההצגה הטריגונומטרית של המספר החדש \( w = 3 + 2\sqrt{3}i \), עלינו לחשב את הרדיוס (\( R \)) והזווית (\( \theta \)) שלו. חישוב הרדיוס (\( R \)): \[ R = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{3})^2} \] \[ R = \sqrt{9 + 4 \cdot 3} = \sqrt{9 + 12} = \sqrt{21} \approx 4.58 \] חישוב הזווית (\( \theta \)): מכיוון שהחלק הממשי (\( 3 \)) חיובי והחלק המדומה (\( 2\sqrt{3} \)) חיובי, המספר נמצא ברביע הראשון, ולכן אין צורך בתיקוני זווית: \[ \tan(\theta) = \frac{y}{x} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.1547 \] נפעיל את פונקציית \(\arctan\) (shift tan במחשבון): \[ \theta = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) \approx 49.11^\circ \] נרכיב את ההצגה הטריגונומטרית הסופית: \[ \sqrt{21}\text{cis}(49.11^\circ) \] (או \( 4.58\text{cis}(49.11^\circ) \) בכתיב עשרוני).