חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · השוואת אינטגרלים ללא חישוב, מתיחה אופקית

השאלה

נתונות הפונקציות הבאות: \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}} \] \[ g(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) \] נתון כי $ n $ הוא מספר טבעי ($ n \in \mathbb{N} $). איזה מבין האינטגרלים המסוימים הבאים הוא הגדול ביותר? נמקו את קביעתכם ללא חישוב האינטגרלים בפועל. 1. $ \int_{n+3}^{n+4} g(x) dx $ 2. $ \int_{n+4}^{n+5} g(x) dx $ 3. $ \int_{n+4}^{n+5} f(x) dx $

הטיפ של עובד

כדי להשוות אינטגרלים מסוימים, ממש לא תמיד חייבים לחשב אותם! אפשר ורצוי להשתמש בהבנה גרפית פשוטה: 1. מתיחה אופקית: הפונקציה $ g(x) = f(x/2) $ אינה "כיווץ", אלא דווקא מתיחה אופקית של הפונקציה $ f(x) $ פי 2! המשמעות היא שעבור אותו גובה ($ y $), ערך ה-$ x $ בפונקציה $ g $ יהיה כפול מזה שב-$ f $. מכיוון שהפונקציה במגמת ירידה, המתיחה הזו "מושכת" את הגרף ימינה וגורמת לו להיות מעל הגרף של $ f(x) $ ברביע הראשון. 2. תכונת הירידה: כאשר פונקציה יורדת באופן קבוע, השטח הכלוא תחתיה בקטע מסוים יהיה תמיד גדול יותר מהשטח הכלוא תחתיה בקטע זהה ברוחבו שנמצא מימינו. שלבו את שתי ההבנות האלו - ותרכיבו מיד את שרשרת אי-השוויונים המנצחת!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: חקירה גרפית של הפונקציות והמתיחה האופקית

הפונקציה $ f(x) $ יורדת בכל תחום הגדרתה, משום שהמכנה גדל ככל ש-$ x $ גדל. הפונקציה $ g(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) $ נוצרת על ידי הכפלת שיעורי ה-$ x $ של $ f(x) $ פי 2. זוהי טרנספורמציה של מתיחה אופקית. כדי לראות את ההשפעה, נשווה את הנקודות: לשתי הפונקציות יש אותה נקודת חיתוך עם ציר ה-y ב- $ (0, 1) $, שכן $ f(0) = g(0) = 1 $. נציב ערך לדוגמה, $ x > 0 $: הפונקציה $ f(x) $ תגיע לערך מסוים ב-$ x $, אך הפונקציה $ g(x) $ "תתעכב" ותגיע לאותו ערך בדיוק רק ב- $ 2x $ (הרבה יותר ימינה). מאחר שהפונקציה נמצאת במגמת ירידה, ההתעכבות הזו גורמת לכך שהגרף של $ g(x) $ יישאר "גבוה" יותר מהגרף של $ f(x) $ לכל $ x > 0 $. מסקנה ראשונה: בתחום $ x > 0 $, מתקיים $ g(x) > f(x) $.

מושגים: מתיחה אופקית של פונקציה

שלב 2: תחרות ראשונה - השוואת אינטגרלים באותו קטע

נשווה בין האינטגרלים המחשבים שטח על אותו קטע בדיוק: $ \int_{n+4}^{n+5} g(x) dx $ לעומת $ \int_{n+4}^{n+5} f(x) dx $. מכיוון ש-$ n $ הוא מספר טבעי ($ n \ge 1 $), הקטע $ [n+4, n+5] $ נמצא כולו בתחום החיובי של ציר ה-x. כפי שהוכחנו בשלב הקודם, בתחום זה הפונקציה $ g(x) $ נמצאת מעל $ f(x) $. לכן, השטח הכלוא תחת גרף הפונקציה $ g(x) $ בהכרח גדול יותר מהשטח הכלוא תחת $ f(x) $ באותו הקטע. קיבלנו את האי-שוויון הראשון שלנו: \[ \int_{n+4}^{n+5} g(x) dx > \int_{n+4}^{n+5} f(x) dx \] (בשלב זה פסלנו את אפשרות 3)

מושגים: מיקום יחסי של פונקציות ושטחים

שלב 3: תחרות שנייה - השוואת אינטגרלים של אותה פונקציה בקטעים שונים

כעת נשווה בין שני האינטגרלים הנותרים של הפונקציה $ g(x) $: $ \int_{n+3}^{n+4} g(x) dx $ לעומת $ \int_{n+4}^{n+5} g(x) dx $. שני האינטגרלים מחשבים את השטח תחת אותה הפונקציה בדיוק ($ g(x) $), על פני קטעים סמוכים שרוחב שניהם זהה (רוחב של יחידה אחת). הפונקציה $ g(x) $ היא פונקציה יורדת אסימפטוטית. המשמעות הגיאומטרית היא שגובה ה"מלבנים" שמרכיבים את השטח הולך וקטן ככל שמתקדמים ימינה על ציר ה-x. לכן, השטח בקטע השמאלי יותר $ [n+3, n+4] $ חייב להיות גדול מהשטח בקטע הימני יותר $ [n+4, n+5] $: \[ \int_{n+3}^{n+4} g(x) dx > \int_{n+4}^{n+5} g(x) dx \]

מושגים: השוואת שטחים ללא חישוב אינטגרל

שלב 4: מסקנה סופית

מאיחוד שתי המסקנות שקיבלנו, נוכל להרכיב את שרשרת אי-השוויונים המלאה: \[ \int_{n+3}^{n+4} g(x) dx > \int_{n+4}^{n+5} g(x) dx > \int_{n+4}^{n+5} f(x) dx \] מכאן נובע בבירור שהאינטגרל השמאלי ביותר, המחקה את השטח תחת $ g(x) $ בקטע ההתחלתי, הוא הגדול מכולם.

תשובה סופית

התשובה הסופית: האינטגרל הגדול ביותר הוא: $ \int_{n+3}^{n+4} g(x) dx $

חזרה לקטלוג

#297חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

השוואת אינטגרלים ללא חישוב, מתיחה אופקית

קראו את השאלה

שאלה

נתונות הפונקציות הבאות:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$

$g(x) = f\left(\frac{x}{2}\right)$

נתון כי $n$ הוא מספר טבעי ( $n \in \mathbb{N}$ ). איזה מבין האינטגרלים המסוימים הבאים הוא הגדול ביותר? נמקו את קביעתכם ללא חישוב האינטגרלים בפועל.

1. $\int_{n+3}^{n+4} g(x) dx$ 2. $\int_{n+4}^{n+5} g(x) dx$ 3. $\int_{n+4}^{n+5} f(x) dx$

אינטגרל מסויםהשוואת שטחיםטרנספורמציות של פונקציותמתיחה אופקית