חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי · חקירת פונקציה
השאלה
לפניך גרף הפונקציה $f(x)$. הפונקציה מוגדרת בתחום $-2 \le x \le 2$, פרט לנקודה $x = 0$ שבה יש 'חור' (נקודת אי-רציפות סליקה). גרף הפונקציה חותך את ציר ה-$x$ בנקודות $x = 2$ ו- $x = -2$. לפונקציה יש נקודת מינימום מקומי בנקודה $(-1, -\frac{1}{2})$ ונקודת מקסימום מקומי בנקודה $(1, \frac{1}{2})$. מגדירים פונקציה חדשה: $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$. ב. מצא את משוואות האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה $g(x)$. נמק מדוע ב- $x=0$ יש אסימפטוטה לפונקציה $g(x)$. ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $g(x)$. ד. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של $g(x)$ וקבע את סוגן. ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.
הטיפ של עובד
ירושת תחום הגדרה: פונקציה שמוגדרת על בסיס פונקציה אחרת (כמו $g(x) = 1/f(x)$) תמיד 'יורשת' את בעיות ההגדרה של פונקציית האם. אם ל-$f(x)$ יש חור ב-$x=0$, גם ל-$g(x)$ אסור להיות מוגדרת שם. בנוסף, היא מייצרת לעצמה בעיות הגדרה חדשות במקומות שבהם המכנה שלה מתאפס (היכן ש-$f(x)=0$).
מחור לאסימפטוטה: אם לפונקציה $f(x)$ יש חור שבו $y \to 0$, הפונקציה $g(x)$ תבצע שם את הפעולה $\frac{1}{\to 0}$. מספר קבוע שמחולק במספר שהולך ומתקרב לאפס, 'מתפוצץ' לאינסוף (או למינוס אינסוף). לכן, החור הופך לאסימפטוטה אנכית! אפשר לוודא את זה על ידי הצבת ערכים שקרובים מאוד לאפס (כמו 0.1 או 0.01) במחשבון דמיוני.
חוק ההיפוכים: כשעושים $\frac{1}{f(x)}$, כל המגמות מתהפכות. איפה ש-$f(x)$ עולה, $g(x)$ יורדת. איפה שיש מקסימום, נוצר מינימום. אבל שימו לב: הסימן לא מתהפך! אזור חיובי נשאר חיובי (כי $\frac{1}{+}$ זה +), ואזור שלילי נשאר שלילי. כמו כן, ערך ה-$y$ של נקודות הקיצון פשוט מתהפך: אם לפונקציה המקורית יש מקסימום בגובה $\frac{1}{2}$, לחדשה יהיה מינימום בגובה $2$.
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: סעיף א': מציאת תחום ההגדרה
הפונקציה $g(x)$ מורכבת מ-$f(x)$ בתוך מכנה שבר. לכן, עלינו לבדוק שני תנאים: 1. ירושת תחום ההגדרה המקורי: נתון כי $f(x)$ לא מוגדרת ב- $x = 0$. לכן, גם $g(x)$ אינה מוגדרת ב- $x = 0$. 2. איפוס המכנה: אסור למכנה להתאפס, כלומר עלינו לדרוש $f(x) \neq 0$. על סמך הגרף, $f(x) = 0$ בנקודות $x = 2$ ו- $x = -2$. לכן נקודות אלו יורדות מתחום ההגדרה. התחום המקורי היה $-2 \le x \le 2$. כאשר נוציא את הקצוות ואת האפס, נקבל את תחום ההגדרה של $g(x)$: $$ -2 < x < 0 \quad \text{או} \quad 0 < x < 2 $$
מושגים: תחום הגדרה, פונקציה מורכבת
שלב 2: סעיף ב': מציאת אסימפטוטות אנכיות
האסימפטוטות האנכיות של פונקציית שבר מהצורה $\frac{1}{f(x)}$ מתרחשות בדרך כלל היכן שהמכנה מתאפס או שואף לאפס. - עבור $x = 2$ ו- $x = -2$: אלו הנקודות המאפסות את המכנה ($f(x)=0$) והמונה אינו אפס. לכן אלו אסימפטוטות אנכיות בוודאות. - עבור $x = 0$: נתון שלפונקציה המקורית יש שם 'חור'. למרות זאת, כאשר נתקרב ל- $x = 0$ מימין או משמאל, הערך של $f(x)$ ילך ויתקרב ל-0. כאשר אנו מחלקים את המספר הקבוע 1 במספר ששואף לאפס, התוצאה הולכת וגדלה (שואפת לאינסוף). למשל: נדמיין הצבה של מספרים הקרובים מאוד ל-0 כמו $0.01$ עבורם ערך ה-$f(x)$ הוא קטנצ'יק, נניח $0.001$. אז $g(x) = \frac{1}{0.001} = 1000$. ככל שנתקרב לאפס, $g(x)$ תשאף ל- $\infty$ מצד אחד ול- $-\infty$ מהצד השני. מסקנה: האסימפטוטות האנכיות הן ב- $x = 2 , x = -2 , x = 0$.
מושגים: אסימפטוטה אנכית, חישוב גבולות, נקודת אי רציפות סליקה
שלב 3: סעיפים ג' ו-ד': חקירת עליה/ירידה ונקודות קיצון
הקשר בין פונקציה להופכית שלה הוא קשר של 'מגמות הפוכות'. כאשר פונקציה חיובית עולה, ההופכית שלה יורדת. ננתח את שני הצדדים של ציר ה-$y$: בתחום הימני ($0 < x < 2$): - הפונקציה $f(x)$ חיובית בתחום זה, לכן גם $g(x)$ חיובית. - בתחום $0 < x < 1$, הפונקציה $f(x)$ עולה $\implies$ לכן $g(x)$ יורדת. - בתחום $1 < x < 2$, הפונקציה $f(x)$ יורדת $\implies$ לכן $g(x)$ עולה. - בנקודה $x = 1$, ל-$f(x)$ יש מקסימום. לכן, ל-$g(x)$ תהיה שם נקודת מינימום. ערך ה-$y$ הוא ההופכי: $g(1) = \frac{1}{f(1)} = \frac{1}{0.5} = 2$. בתחום השמאלי ($-2 < x < 0$): - הפונקציה $f(x)$ שלילית בתחום זה, לכן גם $g(x)$ שלילית. - בתחום $-2 < x < -1$, הפונקציה $f(x)$ יורדת $\implies$ לכן $g(x)$ עולה. - בתחום $-1 < x < 0$, הפונקציה $f(x)$ עולה $\implies$ לכן $g(x)$ יורדת. - בנקודה $x = -1$, ל-$f(x)$ יש מינימום. לכן, ל-$g(x)$ תהיה שם נקודת מקסימום. ערך ה-$y$ הוא ההופכי: $g(-1) = \frac{1}{f(-1)} = \frac{1}{-0.5} = -2$. סיכום: תחומי עלייה: $-2 < x < -1$ או $0 < x < 1$ תחומי ירידה: $-1 < x < 0$ או $1 < x < 2$ נקודות קיצון: מינימום מוחלט (בתחומו) $(1, 2)$, מקסימום מוחלט (בתחומו) $(-1, -2)$
מושגים: קשר בין פונקציה להופכית, תחומי עלייה וירידה, סיווג נקודות קיצון
שלב 4: סעיף ה': סרטוט סקיצת הפונקציה $g(x)$
נשלב את כל המידע: אסימפטוטות אנכיות ב- $-2, 0, 2$, נקודת מינימום ב- $(1, 2)$ ההופכת את המגמה בין האסימפטוטות החיוביות, ונקודת מקסימום ב- $(-1, -2)$ ההופכת את המגמה בין האסימפטוטות השליליות. גרף הפונקציה $g(x)$: ניתן לראות כי 'החור' הפך לאסימפטוטה אנכית במרכז.
מושגים: סקיצה של פונקציה מורכבת
תשובה סופית
התשובה הסופית: א. תחום הגדרה: $-2 < x < 0$ או $0 < x < 2$. ב. אסימפטוטות אנכיות: $x = 2$, $x = -2$, ו- $x = 0$. ג. עולה: $-2 < x < -1$ או $0 < x < 1$. יורדת: $-1 < x < 0$ או $1 < x < 2$. ד. נקודות קיצון: $(-1, -2)$ - מקסימום, $(1, 2)$ - מינימום. ה. סקיצה: מופיעה בפתרון המלא מטה.
