לפניך סקיצה של גרף הפונקציה \( f(x) \). על פי הגרף, הפונקציה נמצאת מתחת לציר ה-\(x\) בתחום שבין \( x=0 \) לאסימפטוטה האנכית \( x=4 \). נתון: \( \int_{1}^{3} f(x) dx = b \) כמו כן, נתונה הפונקציה: \( g(x) = |f(x)| \). הבע באמצעות \( b \) את ערכם של האינטגרלים הבאים: (1) \( \int_{1}^{3} g(x) dx \) (2) \( \int_{1}^{3} (g(x) + 2f(x)) dx \) (3) \( \int_{1}^{3} \left( b \cdot \frac{f(x)}{g(x)} \right) dx \)
מי אתה פרמטר b? כאשר הפונקציה ממוקמת כולה מתחת לציר ה-\(x\), האינטגרל המסוים מניב תוצאה שלילית. אם נתון ש- \( \int f(x) dx = b \), המשמעות היא ש-b הוא מספר שלילי בעצמו! כדי לייצג שטח "אמיתי" וגדול מאפס, עלינו לשים לפניו סימן מינוס (\(-b\)). פירוק סכומים: מותר ומומלץ לפצל אינטגרל של סכום פונקציות לאינטגרלים נפרדים, ולהוציא קבועים מחוץ לאינטגרל: \( \int (g + 2f) dx = \int g dx + 2\int f dx \). זה הופך בעיה מסובכת להצבה פשוטה. מנה של פונקציה וערכה המוחלט: ביטוי מהצורה \( \frac{f(x)}{|f(x)|} \) עשוי להיראות מאיים, אך הוא פשוט מאוד! כאשר הפונקציה שלילית (כפי שקורה כאן), הערך המוחלט הופך אותה לחיובית (\( |f(x)| = -f(x) \)). המנה \( \frac{f(x)}{-f(x)} \) תצטמצם מיד ותיתן לנו את המספר הקבוע -1. אינטגרל על מספר קבוע הוא פעולה מיידית.
הפונקציה \( g(x) \) מוגדרת כערך המוחלט של \( f(x) \), כלומר: \( g(x) = |f(x)| \). כדי לחשב את האינטגרל, עלינו לדעת מהו הסימן של \( f(x) \) בתחום שבין \( x=1 \) ל- \( x=3 \). על פי הגרף הנתון, בתחום זה הפונקציה \( f(x) \) כולה מתחת לציר ה-x. במילים אחרות: \[ f(x) < 0 \quad \text{עבור} \quad 1 \le x \le 3 \] כאשר ביטוי הוא שלילי, הסרת הערך המוחלט דורשת הוספת סימן מינוס לפניו: \[ g(x) = |f(x)| = -f(x) \] כעת נציב זאת באינטגרל המבוקש ונשתמש בתכונת הוצאת קבוע: \[ \int_{1}^{3} g(x) dx = \int_{1}^{3} -f(x) dx = -\int_{1}^{3} f(x) dx \] מכיוון שנתון לנו כי \( \int_{1}^{3} f(x) dx = b \), נציב \( b \) במקום האינטגרל ונקבל: \[ -b \] (הערה: מכיוון ששטח חייב להיות חיובי, ו-\(g(x)\) היא פונקציה חיובית, התוצאה \( -b \) היא אכן מספר חיובי מכיוון ש-\(b\) עצמו מייצג ערך שלילי).
מושגים: ערך מוחלט ואינטגרלים
אנו נדרשים לחשב את האינטגרל הבא: \[ \int_{1}^{3} (g(x) + 2f(x)) dx \] על פי תכונת הליניאריות של האינטגרל המסוים, ניתן לפצל סכום (או הפרש) של פונקציות לאינטגרלים נפרדים, וכן להוציא כופלים קבועים מחוץ לסימן האינטגרל: \[ \int_{1}^{3} g(x) dx + 2 \cdot \int_{1}^{3} f(x) dx \] כעת נציב את הערכים הידועים לנו מתוך הנתונים ומסעיף (1): • מסעיף (1) אנו יודעים ש- \( \int_{1}^{3} g(x) dx = -b \). • מהנתון המקורי אנו יודעים ש- \( \int_{1}^{3} f(x) dx = b \). נציב: \[ -b + 2 \cdot (b) = -b + 2b = b \]
מושגים: תכונות האינטגרל המסוים (לינאריות)
האינטגרל השלישי נראה במבט ראשון מורכב, אך פישוט פשוט שלו יחשוף את התשובה. נתון האינטגרל: \[ \int_{1}^{3} \left( b \cdot \frac{f(x)}{g(x)} \right) dx \] נציב את ההגדרה של \( g(x) \) שהיא \( g(x) = |f(x)| \), וכפי שכבר הראינו בתחום זה \( |f(x)| = -f(x) \). לכן: \[ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)}{-f(x)} \] הפונקציה מופיעה במונה ובמכנה ולכן מצטמצמת! \[ \frac{f(x)}{-f(x)} = -1 \] כעת הפונקציה שאותה אנו צריכים לעשות לה אינטגרל היא פשוט מספר קבוע. נציב זאת חזרה: \[ \int_{1}^{3} \left( b \cdot (-1) \right) dx = \int_{1}^{3} -b \, dx \] האינטגרל של מספר קבוע (\(-b\)) הוא פשוט אותו מספר כפול \(x\). נבצע את האינטגרציה ונציב את הגבולות (1 ו-3): \[ \left[ -bx \right]_{1}^{3} \] נציב תחילה את הגבול העליון (3) ונחסר את הצבת הגבול התחתון (1): \[ (-b \cdot 3) - (-b \cdot 1) = -3b - (-b) = -3b + b = -2b \]
מושגים: צמצום ביטויים לפונקציה קבועה
התשובות הסופיות: (1) ערך האינטגרל: \( -b \) (2) ערך האינטגרל: \( b \) (3) ערך האינטגרל: \( -2b \)
לפניך סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
על פי הגרף, הפונקציה נמצאת מתחת לציר ה-x בתחום שבין x=0 לאסימפטוטה האנכית x=4.
נתון: ∫13f(x)dx=b
כמו כן, נתונה הפונקציה: g(x)=∣f(x)∣.
הבע באמצעות b את ערכם של האינטגרלים הבאים: (1) ∫13g(x)dx (2) ∫13(g(x)+2f(x))dx (3) ∫13(b⋅g(x)f(x))dx
