גיאומטריה אנליטית · משולש ותיכונים

השאלה

קודקוד $ A $ במשולש $ ABC $ נמצא בנקודה $ A(3, 4) $. התיכונים $ BD $ ו- $ CE $ נמצאים על הישרים: $ 4x + 3y = 34 \quad \text{ו-} \quad x - 5 = 0 $ בהתאמה. א. נקודה $ P $ היא מפגש התיכונים במשולש $ ABC $. מצאו את שיעורי הנקודה $ P $. ב. מצאו את שיעורי הקודקוד $ B $. ג. הוכיחו שהמשולש $ ABC $ הוא שווה שוקיים. ד. חשבו את שטח המשולש $ ABC $.

הטיפ של עובד

הסוד טמון במילים "נקודת מפגש התיכונים". נקודה P היא פשוט נקודת החיתוך בין שני התיכונים שמשוואותיהם כבר נתונות לכם! אין צורך להסתבך. לגבי מציאת B: זכרו שהתיכון $ CE $ חוצה את הצלע $ AB $. לכן הנקודה $ E $ היא בדיוק האמצע. אם נסמן את $ B(x,y) $, נוכל לבטא את האמצע $ E $ ולהציב אותו במשוואת התיכון עליו הוא מונח. זו דרך עוקפת מבריקה לחילוץ קואורדינטות מבלי לדעת איפה $ C $ בכלל!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א' - מציאת מפגש התיכונים P

נקודת מפגש התיכונים $ P $ נמצאת על כל התיכונים, ולכן היא נקודת החיתוך בין התיכונים הנתונים $ BD $ ו-$ CE $. המשוואות שלנו: 1. $ 4x + 3y = 34 $ (הישר של $ BD $) 2. $ x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5 $ (הישר של $ CE $) נציב את $ x = 5 $ אל תוך המשוואה הראשונה: $ 4(5) + 3y = 34 $ $ 20 + 3y = 34 $ $ 3y = 14 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} $ נקודת מפגש התיכונים היא: $ P(5, 4\frac{2}{3}) $.

מושגים: חיתוך ישרים

שלב 2: סעיף ב' - מציאת הקודקוד B

הקודקוד $ B $ מונח על הישר של התיכון $ BD $, כלומר הוא מקיים את המשוואה: $ 4x_B + 3y_B = 34 $. הישר השני הוא התיכון $ CE $, שיוצא מהקודקוד $ C $ וחוצה את הצלע $ AB $. מכאן ש-$ E $ היא נקודת האמצע של $ AB $. נביע את נקודה $ E $ בעזרת נוסחת אמצע קטע, כאשר ידוע לנו ש-$ A(3,4) $: $ E = \left( \frac{x_B + 3}{2}, \frac{y_B + 4}{2} \right) $ הנקודה $ E $ מונחת על התיכון $ CE $, שמשוואתו היא $ x = 5 $. לכן, שיעור ה-x של $ E $ חייב להיות שווה ל-5: $ \frac{x_B + 3}{2} = 5 $ $ x_B + 3 = 10 \quad \Rightarrow \quad x_B = 7 $ כעת נציב את ה-x שמצאנו במשוואה של התיכון $ BD $ שעליו מונחת הנקודה $ B $: $ 4(7) + 3y_B = 34 $ $ 28 + 3y_B = 34 $ $ 3y_B = 6 \quad \Rightarrow \quad y_B = 2 $ שיעורי הקודקוד B הם: $ B(7, 2) $.

מושגים: תיכון ואמצע קטע

שלב 3: סעיף ג' - הוכחה שהמשולש שווה שוקיים

כדי להוכיח שהמשולש שווה שוקיים, נבדוק את אורכי צלעותיו. לשם כך, אנו זקוקים לקודקוד $ C $. אנו יודעים שנקודת מפגש התיכונים $ P $ היא ממוצע שיעורי קודקודי המשולש. נשתמש בנוסחת מרכז כובד למציאת C: $ x_P = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} \quad \Rightarrow \quad 5 = \frac{3 + 7 + x_C}{3} $ $ 15 = 10 + x_C \quad \Rightarrow \quad x_C = 5 $ כעת למציאת שיעור ה-y של C: $ y_P = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{14}{3} = \frac{4 + 2 + y_C}{3} $ $ 14 = 6 + y_C \quad \Rightarrow \quad y_C = 8 $ הקודקוד הוא $ C(5, 8) $. כעת נחשב את אורכי הצלעות $ AB $ ו-$ AC $ (מרחק בין נקודות): $ AB = \sqrt{(7 - 3)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} $ $ AC = \sqrt{(5 - 3)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} $ הוכחנו ש-$ AB = AC = \sqrt{20} $, ולכן המשולש הוא שווה שוקיים.

מושגים: תכונות משולש שווה שוקיים

שלב 4: סעיף ד' - חישוב שטח המשולש

מאחר והמשולש שווה שוקיים ($ AB=AC $), התיכון לבסיס $ BC $ (שנסמנו $ AF $) הוא גם הגובה לבסיס. תחילה, נחשב את אורך הבסיס $ BC $ בין הנקודות $ B(7,2) $ ו-$ C(5,8) $: $ BC = \sqrt{(5 - 7)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} $ נמצא את הנקודה $ F $, שהיא אמצע הבסיס $ BC $: $ F = \left(\frac{7+5}{2}, \frac{2+8}{2}\right) = (6, 5) $ נחשב את אורך הגובה $ AF $ בין הנקודות $ A(3,4) $ ו-$ F(6,5) $: $ AF = \sqrt{(6 - 3)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $ ציב בנוסחת שטח משולש (מחצית מכפלת בסיס בגובה): $ S = \frac{BC \cdot AF}{2} = \frac{\sqrt{40} \cdot \sqrt{10}}{2} $ $ S = \frac{\sqrt{400}}{2} = \frac{20}{2} = 10 $ שטח המשולש $ ABC $ הוא 10 יח"ר.

מושגים: חישוב שטח משולש

תשובה סופית

התשובה הסופית: א. מפגש התיכונים P: $ P(5, 4\frac{2}{3}) $ ב. שיעורי הקודקוד B: $ B(7, 2) $ ג. הוכחת שווה שוקיים: הוכח כי $ AB = AC = \sqrt{20} $. ד. שטח המשולש: $ S_{\triangle ABC} = 10 $ יח"ר.

חזרה לקטלוג

#118גיאומטריה אנליטית

משולש ותיכונים

קראו את השאלה

שאלה

קודקוד $A$ במשולש $ABC$ נמצא בנקודה $A(3, 4)$ . התיכונים $BD$ ו- $CE$ נמצאים על הישרים: $4x + 3y = 34 \quad \text{ו-} \quad x - 5 = 0$ בהתאמה.

א. נקודה $P$ היא מפגש התיכונים במשולש $ABC$ . מצאו את שיעורי הנקודה $P$ . ב. מצאו את שיעורי הקודקוד $B$ . ג. הוכיחו שהמשולש $ABC$ הוא שווה שוקיים. ד. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .