גאומטריה אנליטית · שטח משולש

שלב 1: שלב 1: מציאת הקודקודים הידועים המספריים

המשולש נוצר מחיתוך של שלושה ישרים. שניים מתוכם נתונים ללא פרמטרים, ולכן נוכל למצוא את נקודת החיתוך ביניהם, נקרא לה קודקוד \( A \): \( x + 4 = 2x - 4 \implies x = 8 \). נציב באחת המשוואות ונקבל \( y = 8 + 4 = 12 \). לכן הקודקוד הראשון הוא \( A(8, 12) \). נבחן את שני הישרים הנותרים: \( y = 2x - 4 \) ו-\( y = ax - 4 \). קל לראות ששניהם חותכים את ציר ה-\( y \) באותה נקודה. נקרא לקודקוד זה \( B \): שניהם נחתכים בנקודה \( B(0, -4) \).

מושגים: חיתוך ישרים

שלב 2: שלב 2: תכנון דרך הפעולה (גובה ובסיס)

הקודקוד השלישי \( C \) נוצר מהחיתוך של הישר הראשון \( y = x + 4 \) והישר עם הפרמטר \( y = ax - 4 \). מכיוון שהנקודות \( A \) ו-\( C \) נמצאות שתיהן על הישר \( y = x + 4 \), הצלע \( AC \) מונחת על ישר זה. נחשב את הגובה \( h \) שיורד מהקודקוד \( B(0, -4) \) אל הישר \( y = x + 4 \) (הבסיס).

שלב 3: שלב 3: חישוב גובה המשולש (\( h \))

נסדר את משוואת הישר אליו יורד הגובה לצורה כללית: \( x - y + 4 = 0 \). נשתמש בנוסחת מרחק נקודה \( B(0,-4) \) מישר: \[ h = \frac{|1(0) - 1(-4) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|0 + 4 + 4|}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \]

מושגים: מרחק נקודה מישר

שלב 4: שלב 4: מציאת אורך הבסיס (\( AC \))

נתון ששטח המשולש הוא \( 48 \). נציב בנוסחת השטח למציאת הבסיס: \[ S = \frac{AC \cdot h}{2} \implies 48 = \frac{AC \cdot 4\sqrt{2}}{2} \implies 48 = AC \cdot 2\sqrt{2} \] \[ AC = \frac{48}{2\sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2} \]

שלב 5: שלב 5: מציאת שיעורי הקודקוד \( C \)

הנקודה \( C \) מונחת על הישר \( y = x + 4 \), ולכן ניתן לסמן אותה כ- \( C(t, t+4) \). המרחק \( AC \) ידוע. נשתמש בנוסחת המרחק מנקודה \( A(8,12) \): \[ AC^2 = (t - 8)^2 + ((t+4) - 12)^2 \] \[ (12\sqrt{2})^2 = (t - 8)^2 + (t - 8)^2 \] \[ 288 = 2(t - 8)^2 \implies 144 = (t - 8)^2 \] מוציאים שורש ומתקבלות שתי אפשרויות לשיעור ה-\( x \) של נקודה \( C \): אפשרות 1: \( t - 8 = 12 \implies t = 20 \implies C_1(20, 24) \) אפשרות 2: \( t - 8 = -12 \implies t = -4 \implies C_2(-4, 0) \)

מושגים: מרחק בין שתי נקודות (אורך קטע), פיצול למקרים (שתי תשובות)

שלב 6: שלב 6: מציאת ערכי הפרמטר \( a \)

הנקודה \( C \) צריכה לקיים את משוואת הישר השלישי \( y = ax - 4 \). עבור \( C_1(20, 24) \): \[ 24 = a(20) - 4 \implies 28 = 20a \implies a = \frac{28}{20} = 1.4 \] עבור \( C_2(-4, 0) \): \[ 0 = a(-4) - 4 \implies 4 = -4a \implies a = -1 \]