גיאומטריה אנליטית · משולש ישר זווית

השאלה

במשולש ישר זווית $ ABC $ נתון: $ B(2, -4) $ , $ A(5, -2) $. משוואת היתר $ AC $ היא $ y = -x + 3 $. א. מצאו את שיעורי הנקודה $ C $. ב. מצאו את שטח המשולש $ ABC $.

הטיפ של עובד

הסוד בשאלה הזו מסתתר במילה אחת קטנה: "היתר". במשולש ישר זווית, היתר הוא הצלע שמול הזווית הישרה (הזווית של ה-$90^\circ$). אם אומרים לכם שהיתר הוא הצלע $ AC $, זה אומר אוטומטית שהזווית הישרה נמצאת בקודקוד $ B $! כלומר, הניצבים $ AB $ ו-$ BC $ מאונכים זה לזה. עכשיו, כל מה שצריך לעשות זה למצוא את שיפוע הישר $ AB $ בעזרת שתי נקודות, לעשות הופכי ונגדי, ולמצוא את משוואת $ BC $!

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א' (שלב 1) - מציאת שיפוע הישר BC

מכיוון שנתון ש-$ AC $ הוא היתר במשולש ישר הזווית, נובע שהזווית הישרה נמצאת בקודקוד $ B $. כלומר, הניצב $ AB $ מאונך לניצב $ BC $ ($ AB \perp BC $). נחשב את שיפוע הישר $ AB $ בעזרת שתי הנקודות הנתונות $ A(5, -2) $ ו- $ B(2, -4) $: $ m_{AB} = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} $ $ m_{AB} = \frac{-2 - (-4)}{5 - 2} = \frac{-2 + 4}{3} = \frac{2}{3} $ מכיוון שהישרים מאונכים, שיפוע הישר $ BC $ יהיה הופכי ונגדי לשיפוע הישר $ AB $: $ m_{BC} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{3}{2} = -1.5 $

שלב 2: סעיף א' (שלב 2) - משוואת הישר BC ומציאת נקודה C

כעת יש לנו את השיפוע של $ BC $ ($ m = -1.5 $) ונקודה עליו ($ B(2, -4) $). נבנה את משוואת הישר: $ y - y_1 = m(x - x_1) $ $ y - (-4) = -1.5(x - 2) $ $ y + 4 = -1.5x + 3 $ $ y = -1.5x - 1 $ הקודקוד $ C $ הוא בעצם נקודת המפגש של הניצב $ BC $ עם היתר $ AC $ (שמשוואתו נתונה: $ y = -x + 3 $). נשווה בין משוואות הישרים: $ -1.5x - 1 = -x + 3 $ נעביר אגפים ונחלץ את x: $ -0.5x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = -8 $ נציב $ x = -8 $ באחת המשוואות (למשל של AC) כדי למצוא את ה-y: $ y = -(-8) + 3 = 8 + 3 = 11 $ מצאנו כי שיעורי הקודקוד הם: $ C(-8, 11) $.

שלב 3: סעיף ב' - חישוב שטח המשולש

במשולש ישר זווית, השטח שווה למחצית מכפלת הניצבים. כלומר: $ S = \frac{AB \cdot BC}{2} $ נחשב את אורך הניצב $ AB $ (מרחק בין $ (5, -2) $ ל- $ (2, -4) $): $ AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-2 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} $ נחשב את אורך הניצב $ BC $ (מרחק בין $ (-8, 11) $ ל- $ (2, -4) $): $ BC = \sqrt{(-8 - 2)^2 + (11 - (-4))^2} = \sqrt{(-10)^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325} $ נציב את האורכים בנוסחת השטח: $ S = \frac{\sqrt{13} \cdot \sqrt{325}}{2} $ ניתן לכפול את המספרים בתוך השורש (או להשתמש במחשבון): $ 13 \cdot 325 = 4225 $. $ S = \frac{\sqrt{4225}}{2} = \frac{65}{2} = 32.5 $ שטח המשולש $ ABC $ הוא $ 32.5 $ יח"ר.

תשובה סופית

התשובה הסופית: א. שיעורי נקודה C: $ C(-8, 11) $ ב. שטח המשולש: $ S_{\triangle ABC} = 32.5 $ יח"ר

חזרה לקטלוג

#126גיאומטריה אנליטית

משולש ישר זווית

קראו את השאלה

שאלה

במשולש ישר זווית $ABC$ נתון: $B(2, -4)$ , $A(5, -2)$ .

משוואת היתר $AC$ היא $y = -x + 3$ .

א. מצאו את שיעורי הנקודה $C$ . ב. מצאו את שטח המשולש $ABC$ .