גיאומטריה אנליטית · מרחק נקודה מישר

השאלה

נתונים שיעורי הנקודות $ A(9, 10) $ ו- $ B(2, 11) $. דרך נקודה $ B $ עובר ישר $ l $. נסמן ב-$ m $ את שיפוע הישר $ l $ ($ m > 0 $). א. הביעו באמצעות $ m $ את משוואת הישר $ l $. ב. מרחק הישר $ l $ מהנקודה $ A $ הוא 5. מצאו את $ m $ ואת משוואת הישר $ l $. ג. על הישר $ l $ נמצאת נקודה $ C $ כך שהמשולש $ ABC $ ישר זווית, $ \angle C = 90^\circ $. חשבו את היקף המשולש $ \Delta ABC $ (דייקו בתשובתכם עד 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

הטיפ של עובד

שימו לב לקיצור הדרך המטורף בסעיף ג'! אם זווית C שווה 90 מעלות, זה אומר שהניצב AC מאונך לניצב BC. אבל רגע... הנקודות B ו-C נמצאות שתיהן על הישר l! זה אומר שהישר l הוא בעצם הישר שעליו מונחת הצלע BC. מכאן נובע שאורך הניצב AC הוא בדיוק "מרחק הנקודה A מהישר l" - נתון שכבר קיבלנו בסעיף ב' (הוא שווה ל-5). כך חסכנו לחלוטין את הצורך למצוא את שיעורי הנקודה C! כל מה שנשאר זה להשתמש במשפט פיתגורס.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: הבעת משוואת הישר l (סעיף א')

נתון שהישר עובר בנקודה $ B(2, 11) $ ושיפועו הוא $ m $. נציב בנוסחה למציאת משוואת ישר (על פי נקודה ושיפוע): \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 11 = m(x - 2) \] \[ y = mx - 2m + 11 \] כדי שנוכל להשתמש בהמשך בנוסחת מרחק נקודה מישר, כדאי לסדר את המשוואה בצורה הכללית ($ Ax + By + C = 0 $). נעביר את $ y $ אגף: \[ mx - y - 2m + 11 = 0 \]

מושגים: משוואת ישר עם פרמטר

שלב 2: מציאת השיפוע ומשוואת הישר (סעיף ב')

נתון כי המרחק בין הנקודה $ A(9, 10) $ לישר $ l $ הוא 5. נשתמש בנוסחת מרחק נקודה מישר: \[ d = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] נציב את הנתונים שלנו לתוך הנוסחה (כאשר המקדמים של הישר הם $ A=m, B=-1, C=-2m+11 $): \[ 5 = \frac{|m(9) - 1(10) - 2m + 11|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \] \[ 5 = \frac{|9m - 10 - 2m + 11|}{\sqrt{m^2 + 1}} \] \[ 5 = \frac{|7m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} \] כדי להיפטר מהשורש ומהערך המוחלט, נעלה את שני האגפים בריבוע: \[ 25 = \frac{(7m + 1)^2}{m^2 + 1} \] נכפול במכנה ונפתח סוגריים (לפי כפל מקוצר): \[ 25(m^2 + 1) = 49m^2 + 14m + 1 \] \[ 25m^2 + 25 = 49m^2 + 14m + 1 \] נעביר הכל לאגף אחד כדי לקבל משוואה ריבועית: \[ 24m^2 + 14m - 24 = 0 \] נחלק את המשוואה ב-2 לפשט אותה: \[ 12m^2 + 7m - 12 = 0 \] בעזרת נוסחת שורשים נקבל שני פתרונות ל-$ m $: פתרון אחד שלילי (אותו נפסול כי נתון $ m > 0 $), והפתרון החיובי הוא: \[ m = 0.75 \] כעת נציב את $ m $ חזרה למשוואת הישר שמצאנו בסעיף א': \[ y = 0.75x - 2(0.75) + 11 \] \[ y = 0.75x + 9.5 \]

מושגים: מרחק נקודה מישר

שלב 3: חישוב היקף המשולש (סעיף ג')

אנו יודעים שהנקודות $ B $ ו-$ C $ מונחות על הישר $ l $. לכן הצלע $ BC $ מונחת על הישר $ l $. במשולש ישר זווית שבו $ \angle C = 90^\circ $, הניצב $ AC $ מאונך לניצב $ BC $. המשמעות היא שאורכו של $ AC $ הוא בדיוק המרחק של הנקודה $ A $ מהישר $ l $! בסעיף ב' נתון לנו שמרחק זה הוא 5. כלומר כבר מצאנו צלע אחת: $ AC = 5 $. כעת נמצא את אורך היתר $ AB $ בעזרת נוסחת המרחק (Distance) בין הנקודות $ A(9,10) $ ו- $ B(2,11) $: \[ AB = \sqrt{(9 - 2)^2 + (10 - 11)^2} \] \[ AB = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \] כעת יש לנו את היתר ואת אחד הניצבים. נמצא את הניצב השני ($ BC $) בעזרת משפט פיתגורס: \[ BC^2 + AC^2 = AB^2 \] \[ BC^2 + 5^2 = (\sqrt{50})^2 \] \[ BC^2 + 25 = 50 \] \[ BC^2 = 25 \implies BC = 5 \] נותר רק לחשב את היקף המשולש (סכום כל הצלעות): היקף $ = AB + AC + BC = \sqrt{50} + 5 + 5 $ היקף $ = 10 + 7.071... $ התבקשנו לדייק עד 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית, לכן התשובה הסופית היא: 17.07.

מושגים: חשיבה גיאומטרית

תשובה סופית

התשובה הסופית: א. $ mx - y - 2m + 11 = 0 $ ב. $ m = 0.75 $ , $ y = 0.75x + 9.5 $ ג. 17.07

חזרה לקטלוג

#140גיאומטריה אנליטית

מרחק נקודה מישר

קראו את השאלה

שאלה

נתונים שיעורי הנקודות $A(9, 10)$ ו- $B(2, 11)$ . דרך נקודה $B$ עובר ישר $l$ . נסמן ב- $m$ את שיפוע הישר $l$ ( $m > 0$ ). א. הביעו באמצעות $m$ את משוואת הישר $l$ . ב. מרחק הישר $l$ מהנקודה $A$ הוא 5. מצאו את $m$ ואת משוואת הישר $l$ . ג. על הישר $l$ נמצאת נקודה $C$ כך שהמשולש $ABC$ ישר זווית, $\angle C = 90^\circ$ . חשבו את היקף המשולש $\Delta ABC$ (דייקו בתשובתכם עד 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית).