במקבילית \(ABCD\) נתון: \(A(3, 6)\), \(D(-2, 1)\). שטח המקבילית הוא 55. א. מצאו את משוואת הישר עליו מונחת הצלע \(BC\), אם הוא נמצא מתחת לישר עליו מונחת הצלע \(AD\). ב. הנקודה \(B\) נמצאת ברביע הראשון ואורך הצלע \(AB\) הוא 11. מצאו את שיעורי הקדקודים \(B\) ו-\(C\). ג. מצאו את נקודת מפגש התיכונים במשולש \(ABC\).
זכרו כי במקבילית, צלעות נגדיות הן מקבילות ושוות באורכן. כאשר מחשבים את משוואת הצלע הנגדית לפי שטח, כדאי להשתמש בנוסחת המרחק בין ישרים מקבילים: \( d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{m^2 + 1}} \). אל תשכחו את המגבלה הגיאומטרית (מיקום ישר) שקובעת את הערך הסופי של c.
שיפוע הצלע \(AD\) הוא: \( m = \frac{1 - 6}{-2 - 3} = 1 \). משוואת \(AD\): \( y = x + 3 \). הצלע \(BC\) מקבילה ומשוואתה \( y = x + c \). שטח המקבילית \( S = |AD| \cdot h = 55 \). אורך \( |AD| = \sqrt{(-2-3)^2 + (1-6)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \). הגובה \( h = \frac{11}{\sqrt{2}} \). לפי נוסחת המרחק בין ישרים: \( \frac{|3 - c|}{\sqrt{2}} = \frac{11}{\sqrt{2}} \Rightarrow |3 - c| = 11 \). מאחר ו-\(BC\) מתחת ל-\(AD\), נקבל \( c = -8 \), כלומר \( y = x - 8 \).
מושגים: משוואת ישרים מקבילים, מרחק בין ישרים
הנקודה \(B(x, x - 8)\). נתון \(AB = 11\): \( \sqrt{(x - 3)^2 + (x - 8 - 6)^2} = 11 \). פתיחת הסוגריים נותנת: \( 2x^2 - 34x + 84 = 0 \). פתרונות המשוואה: \( x = 14 \) או \( x = 3 \). נבחר \( x = 14 \) כדי שהנקודה תהיה ברביע הראשון, כלומר \( B(14, 6) \). בעזרת הוקטור \( \vec{AD} = \vec{BC} = (-5, -5) \), נמצא את \( C = B + (-5, -5) = (9, 1) \).
מושגים: תכונות המקבילית, נוסחת מרחק
נקודת מפגש התיכונים היא ממוצע הקדקודים: \( \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \) \). חישוב: \( \left( \frac{3 + 14 + 9}{3}, \frac{6 + 6 + 1}{3} \right) = \left( \frac{26}{3}, \frac{13}{3} \right) \approx (8.67, 4.33) \).
מושגים: מרכז כובד של משולש
התשובות הסופיות: א. \( y = x - 8 \) ב. \( B(14, 6), C(9, 1) \) ג. \( (8.67, 4.33) \)
במקבילית ABCD נתון: A(3,6), D(−2,1). שטח המקבילית הוא 55.
א. מצאו את משוואת הישר עליו מונחת הצלע BC, אם הוא נמצא מתחת לישר עליו מונחת הצלע AD.
ב. הנקודה B נמצאת ברביע הראשון ואורך הצלע AB הוא 11. מצאו את שיעורי הקדקודים B ו-C.
ג. מצאו את נקודת מפגש התיכונים במשולש ABC.
