גיאומטריה אנליטית · משולש שווה שוקיים

שלב 1: סעיף א' - הרכבת משוואת המרחקים

נתון לנו שהמשולש שווה שוקיים וש-\( AB = AC \). נשתמש בנוסחת המרחק (דיסטנס), אך מטעמי נוחות נשווה את המרחקים בריבוע (כדי לא לעבוד עם שורשים): AB^2 = AC^2 נחשב את אורך הקטע \( AB^2 \) (בין הנקודות \( A(-1, 1) \) ל- \( B(5, 3) \)): AB^2 = (5 - (-1))^2 + (3 - 1)^2 \\ AB^2 = (6)^2 + (2)^2 = 36 + 4 = 40 נחשב את הביטוי עבור \( AC^2 \) (בין \( A(-1, 1) \) ל- \( C(1, k) \)): AC^2 = (1 - (-1))^2 + (k - 1)^2 \\ AC^2 = (2)^2 + (k - 1)^2 = 4 + (k - 1)^2 כעת נשווה בין שני הביטויים: 4 + (k - 1)^2 = 40

מושגים: מרחק בין שתי נקודות (דיסטנס)

שלב 2: סעיף א' - פתרון המשוואה ומציאת k

נעביר את 4 לאגף ימין: (k - 1)^2 = 36 הכי קל במצב כזה הוא להוציא שורש משני האגפים. נזכור שלמספר חיובי יש תמיד שני שורשים (חיובי ושלילי): \( k - 1 = 6 \Rightarrow k = 7 \) \( k - 1 = -6 \Rightarrow k = -5 \) שני הערכים האפשריים הם: \( k = 7 \) או \( k = -5 \).

שלב 3: סעיף ב' - בדיקת זווית ישרה

כפי שהוסבר בטיפ, אם המשולש שווה שוקיים וישר זווית, הזווית הישרה חייבת להיות בין שתי השוקיים השוות, כלומר זווית \( A \). מכאן נובע שהניצב \( AB \) מאונך לניצב \( AC \) (\( AB \perp AC \)), ולכן מכפלת השיפועים שלהם שווה למינוס 1. נחשב את שיפוע הישר \( AB \): m_{AB} = \frac{3 - 1}{5 - (-1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} נחשב את הביטוי לשיפוע הישר \( AC \): m_{AC} = \frac{k - 1}{1 - (-1)} = \frac{k - 1}{2} כדי שהישרים יהיו מאונכים, שיפוע \( AC \) חייב להיות הופכי ונגדי לשיפוע \( AB \). ההופכי והנגדי של \( \frac{1}{3} \) הוא -3. נשווה: \frac{k - 1}{2} = -3 נפתור את המשוואה ונקבל: k - 1 = -6 \Rightarrow k = -5 הערך שעבורו המשולש הוא גם ישר זווית הוא: \( k = -5 \).

מושגים: ישרים מאונכים, היגיון גיאומטרי