גיאומטריה אנליטית · מרחק ושטח

השאלה

מרחק הנקודה $P(-1, 10)$ מישר $\ell$ העובר דרך הנקודה $A(-4, 6)$ הוא $5$. א. מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה $A$ (הישר $\ell$). ב. נקודה $B$ נמצאת על הישר $\ell$ ויוצרת עם הנקודות $A$ ו-$P$ משולש ששטחו $37.5$ יח"ר. מצאו את שיעורי הנקודה $B$.

הטיפ של עובד

לקשר בין נתונים בצורה חכמה! נתנו לכם שטח משולש ומרחק של נקודה מישר. הרי מרחק הנקודה $P$ מהישר $\ell$ (עליו מונחת הצלע $AB$) הוא בדיוק הגובה של המשולש ($h$)! אין צורך לבנות פונקציות שטח מסובכות. הציבו בנוסחת השטח הפשוטה $S = (base * h) / 2$ כאשר $h = 5$, ותגלו מיד שאורך הצלע $AB$ הוא 15.

פתרון מודרך, צעד אחר צעד

שלב 1: סעיף א' - בניית משוואת הישר מתוך מרחק

הישר $\ell$ עובר בנקודה $A(-4, 6)$. נסמן את שיפוע הישר ב-$m$ ונבנה את משוואתו: $y - 6 = m(x + 4)$, כלומר $y = mx + 4m + 6$. נעביר לצורה סתומה: $mx - y + 4m + 6 = 0$. נציב בנוסחת מרחק נקודה $P(-1, 10)$ מישר ששווה ל-5. לאחר העלאה בריבוע ופתרון המשוואה הריבועית $16m^2 + 24m + 9 = 0$, נקבל $m = -0.75$. משוואת הישר היא $y = -0.75x + 3$.

מושגים: מרחק נקודה מישר

שלב 2: סעיף ב' - מציאת שיעורי הנקודה B

הגובה למשולש $PAB$ הוא המרחק שמצאנו, כלומר $h=5$. לפי שטח המשולש: $37.5 = (AB * 5) / 2$, לכן $AB = 15$. נסמן נקודה כללית על הישר: $B(x, -0.75x + 3)$. נשתמש בנוסחת מרחק בין שתי נקודות $A$ ו-$B$ ונשווה ל-15. לאחר פתרון המשוואה נקבל שתי אפשרויות ל-$x$: $8$ ו-$ (-16) $. הנקודות הן: $ (8, -3) $ או $ (-16, 15) $.

מושגים: שטח משולש במערכת צירים, מציאת נקודה על ישר

תשובות סופיות

התשובות הסופיות: א. משוואת הישר: $y = -0.75x + 3$ ב. שיעורי הנקודה B: $(8, -3)$ או $(-16, 15)$

פוקוס המורה הפרטי

תרגול מציאת משוואת ישר לפי מרחק נקודה ושילוב נתוני שטח משולש בגיאומטריה אנליטית.

חזרה לקטלוג

#119גיאומטריה אנליטית

מרחק ושטח

קראו את השאלה

שאלה

מרחק הנקודה $P(-1, 10)$ מישר $\ell$ העובר דרך הנקודה $A(-4, 6)$ הוא $5$ .

א. מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה $A$ (הישר $\ell$ ).

ב. נקודה $B$ נמצאת על הישר $\ell$ ויוצרת עם הנקודות $A$ ו- $P$ משולש ששטחו $37.5$ יח"ר.

מצאו את שיעורי הנקודה $B$ .