אנליזה · חקירת פונקציית שורש (5 יח"ל)
השאלה
נתונה הפונקציה: \[f(x) = (3x - 9)\sqrt{15 - x}\] א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה \(f(x)\). ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה \(f(x)\) עם הצירים. ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה \(f(x)\), וקבעו את סוגן. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה \(f(x)\). ה. נתונה הפונקציה: \[g(x) = f(x + 6)\] המוגדרת בתחום \(x \le 9\). (1) קבעו איזה מן הגרפים IV–I שלפניכם מתאר את הפונקציה \(g(x)\). נמקו את קביעתכם. (2) מהם שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה \(g(x)\)? גרפים אפשריים עבור סעיף ה' (IV–I): גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
הטיפ של עובד
הטיפ של עובד: כשמבקשים מכם למצוא נקודות קיצון, אל תשכחו את קצה תחום ההגדרה! בפונקציות שורש מהסוג \(x \le a\), נקודת הקצה היא תמיד נקודת קיצון (מינימום או מקסימום קצה). לגבי סעיף ה', תזכרו שהזזה מהצורה \(f(x + c)\) כאשר \(c > 0\) היא הזזה שמאלה – כלומר כל שיעורי ה-\(x\) קטנים ב-\(c\), בעוד ששיעורי ה-\(y\) נשארים ללא שינוי!
פתרון מודרך, צעד אחר צעד
שלב 1: שלב א': מציאת תחום ההגדרה
כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת, הביטוי שבתוך השורש הריבועי חייב להיות אי-שלילי (גדול או שווה לאפס). \[15 - x \ge 0\] דרישת הגדרה עבור שורש ריבועי ממשי. \[x \le 15\] העברת אגפים ובידוד המשתנה \(x\). תחום ההגדרה הסופי: \(x \le 15\).
מושגים: חקירת פונקציית שורש
שלב 2: שלב ב': מציאת נקודות חיתוך עם הצירים
נמצא בנפרד את החיתוך עם ציר ה-\(y\) (נציב \(x=0\)) ואת החיתוך עם ציר ה-\(x\) (נציב \(y=0\)). 1. חיתוך עם ציר ה-\(y\) (\(x=0\)): \[f(0) = (3(0) - 9)\sqrt{15 - 0}\] הצבת \(x=0\) בנוסחת הפונקציה המקורית. \[f(0) = -9\sqrt{15} \approx -34.85\] פישוט חשבוני. נקודה זו נמצאת בתחום ההגדרה. נקודת חיתוך עם ציר ה-\(y\): \((0, -9\sqrt{15})\). 2. חיתוך עם ציר ה-\(x\) (\(f(x)=0\)): \[(3x - 9)\sqrt{15 - x} = 0\] השוואת הפונקציה לאפס. \[3x - 9 = 0 \implies 3x = 9 \implies x = 3\] אפשרות ראשונה: השוואת הגורם הליניארי לאפס. הערך נמצא בתחום ההגדרה. \[\sqrt{15 - x} = 0 \implies 15 - x = 0 \implies x = 15\] אפשרות שנייה: השוואת הגורם הריבועי (השורש) לאפס. גם ערך זה נמצא בתחום. נקודות החיתוך עם ציר ה-\(x\): \((3,0)\) ו-\((15,0)\).
מושגים: חקירת פונקציית שורש
שלב 3: שלב ג': מציאת נקודות קיצון וסוגן
נגזור את הפונקציה לפי חוק נגזרת של מכפלה: \([u \cdot v]' = u'v + uv'\). נגדיר: \(u = 3x - 9 \implies u' = 3\) \(v = \sqrt{15 - x} \implies v' = \frac{-1}{2\sqrt{15 - x}}\ \[f'(x) = 3\sqrt{15 - x} + (3x - 9) \cdot \frac{-1}{2\sqrt{15 - x}}\] יישום חוק הגזירה למכפלה. \[f'(x) = \frac{3 \cdot 2(15 - x) - (3x - 9)}{2\sqrt{15 - x}}\] הרחבה למכנה משותף של \(2\sqrt{15 - x}\). \[f'(x) = \frac{6(15 - x) - 3x + 9}{2\sqrt{15 - x}} = \frac{90 - 6x - 3x + 9}{2\sqrt{15 - x}} = \frac{99 - 9x}{2\sqrt{15 - x}}\] פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים במונה. \[99 - 9x = 0 \implies 9x = 99 \implies x = 11\] השוואת המונה לאפס למציאת נקודות חשודות לקיצון מקומי. הערך \(x=11\) בתחום. נבדוק את סוג הנקודה ואת התנהגות הפונקציה (עבור \(x \le 15\)): עבור \(x < 11\): הנגזרת חיובית, פונקציה עולה (\(\nearrow\)) עבור \(x = 11\): הנגזרת מתאפסת, נקודת מקסימום עבור \(11 < x < 15\): הנגזרת שלילית, פונקציה יורדת (\(\searrow\)) עבור \(x = 15\): לא מוגדר בנגזרת, נקודת קצה (מינימום) נחשב את ערכי ה-\(y\) בנקודות הקיצון: - עבור \(x = 11\): \[f(11) = (3(11) - 9)\sqrt{15 - 11} = (33 - 9)\sqrt{4} = 24 \cdot 2 = 48\] מכאן ש-\((11, 48)\) היא נקודת מקסימום מקומי ומוחלט. - עבור \(x = 15\) (קצה התחום): \[f(15) = (3(15) - 9)\sqrt{15 - 15} = 36 \cdot 0 = 0\] מכאן ש-\((15, 0)\) היא נקודת מינימום קצה.
מושגים: נקודות קיצון מקומיות וקצה
שלב 4: שלב ד': סקיצה של גרף הפונקציה
על פי הנתונים שאספנו: הפונקציה מתחילה בערכים שליליים מאוד עבור \(x\) שואף למינוס אינסוף, עולה וחותכת את ציר ה-\(y\) ב-\((0, -9\sqrt{15})\), ממשיכה לעלות וחותכת את ציר ה-\(x\) ב-\((3,0)\), מגיעה לשיא (מקסימום) ב-\((11, 48)\), ולאחר מכן יורדת עד לנקודת הקצה שלה ב-\((15, 0)\).
מושגים: חקירת פונקציית שורש
שלב 5: שלב ה': חקירת הפונקציה המוזזת \(g(x) = f(x + 6)\)
נבין את ההשפעה של החלפת המשתנה \(x\) ב-\(x + 6\): \[g(x) = f(x + 6)\] טרנספורמציה זו מייצגת הזזה אופקית שמאלה ב-6 יחידות של כל גרף הפונקציה \(f(x)\). נקודת הקצה זזה מ-\(x = 15\) ל-\(x = 15 - 6 = 9\). תחום ההגדרה החדש הופך ל-\(x \le 9\). נקודת החיתוך עם ציר ה-\(x\) זזה מ-\(x = 3\) ל-\(x = 3 - 6 = -3\). (הזזה אופקית שמאלה ב-6 יחידות). גרף III הוא המתאים ביותר: רק גרף III מראה נקודת קצה סגורה על ציר ה-\(x\) ב-\(x=9\), חיתוך עם ציר ה-\(x\) בערך שלילי (\(x=-3\)), ונקודת מקסימום ברביע הראשון. נקודת הקיצון הפנימית החדשה היא \((5, 48)\): שיעור ה-\(y\) נשאר זהה לזה של נקודת המקסימום המקורית (\(y=48\)), ושיעור ה-\(x\) קטן ב-6 יחידות: \(11 - 6 = 5\).
מושגים: הזזות אופקיות של פונקציות
תשובות סופיות
התשובות הסופיות: א. תחום הגדרה: \(x \le 15\). ב. חיתוך עם הצירים: \((3,0)\), \((15,0)\), \((0, -9\sqrt{15})\). ג. נקודות קיצון: \((11, 48)\) מקסימום מקומי ומוחלט, \((15, 0)\) מינימום קצה. ד. סקיצה של גרף הפונקציה \(f(x)\): ה. (1) גרף III מתאים (הזזה של גרף הפונקציה \(f(x)\) ב-6 יחידות שמאלה. נקודת הקצה זזה ל-\(x = 9\), והחיתוך עם ציר ה-\(x\) זז ל-\(x = -3\)). (2) נקודת הקיצון הפנימית של \(g(x)\) היא: \((5, 48)\).
