אנליזה · חקירת פונקציית שורש ריבועי והיפוכה

שלב 1: שלב א.1: מציאת תחום ההגדרה של \(f(x)\)

כדי שפונקציית שורש ריבועי תהיה מוגדרת, הביטוי בתוך השורש חייב להיות אי-שלילי (גדול או שווה לאפס): \[-x^2 + 8x - 12 \ge 0\] נמצא תחילה את נקודות ההתאפסות על ידי פתרון המשוואה הריבועית המתאימה: \[-x^2 + 8x - 12 = 0\] נכפיל ב- \(-1\) כדי לקבל מקדמים נוחים: \[x^2 - 8x + 12 = 0\] בעזרת פירוק טרינום פשוט נקבל: \[(x-2)(x-6) = 0 \implies x_1 = 2, \quad x_2 = 6\] מכיוון שהמקדם של \(x^2\) באי-השוויון המקורי הוא שלילי (\(-1\)), הפרבולה המתאימה היא קעורה כלפי מטה ("עצובה"). לכן ערכי הפונקציה יהיו חיוביים או אפס בתוך הקטע שבין שני השורשים. תחום ההגדרה של הפונקציה \(f(x)\) הוא: \(2 \le x \le 6\)

מושגים: חקירת פונקציית שורש וקיצון קצה

שלב 2: שלב א.2: מציאת נקודות קיצון מוחלט וסיווגן

נחפש נקודות קיצון פנימיות על ידי גזירת הפונקציה והשוואת הנגזרת לאפס. נגזרת של פונקציית שורש מהצורה \(\sqrt{u(x)}\) היא \(\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\): \[f'(x) = \frac{-2x + 8}{2\sqrt{-x^2 + 8x - 12}} = \frac{-x + 4}{\sqrt{-x^2 + 8x - 12}}\] נשווה את הנגזרת לאפס (מספיק להשוות את מונה הנגזרת לאפס): \[-x + 4 = 0 \implies x = 4\] הנקודה \(x=4\) נמצאת בתוך תחום ההגדרה הפתוח של הפונקציה (\(2 < 4 < 6\)), ולכן היא נקודת קיצון פנימית חשודה. נחשב את ערך ה-\(y\) בנקודה זו: \[f(4) = \sqrt{-4^2 + 8 \cdot 4 - 12} = \sqrt{-16 + 32 - 12} = \sqrt{4} = 2\] כעת, נבדוק את ערכי הפונקציה בקצוות תחום ההגדרה הסגור (\(x=2\) ו-\(x=6\)): \[f(2) = \sqrt{-2^2 + 8 \cdot 2 - 12} = 0\] \[f(6) = \sqrt{-6^2 + 8 \cdot 6 - 12} = 0\] קביעת סוג הקיצון המוחלט: הערך הגבוה ביותר שמתקבל הוא \(y=2\) בנקודה \(x=4\), והערך הנמוך ביותר הוא \(y=0\) בקצוות \(x=2\) ו-\(x=6\). מקסימום מוחלט: \((4, 2)\) מינימום מוחלט: \((2, 0)\) ו-\((6, 0)\) (נקודות הקצה של הפונקציה)

מושגים: חקירת פונקציית שורש וקיצון קצה

שלב 3: שלב ב: שרטוט גרף הפונקציה \(f(x)\)

הפונקציה מייצגת את החצי העליון של מעגל שמרכזו בנקודה \((4,0)\) ורדיוסו 2. להלן סקיצה של הפונקציה המקורית:

שלב 4: שלב ג.1: תחום ההגדרה של הפונקציה \(g(x)\)

נתונה פונקציית המנה: \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\). עבור פונקציית מנה, קיימים שני תנאים מצטברים להגדרה: 1. הביטוי בתוך השורש במכנה חייב להיות אי-שלילי: \(-x^2 + 8x - 12 \ge 0 \implies 2 \le x \le 6\). 2. המכנה אינו יכול להיות שווה לאפס: \(f(x) \neq 0 \implies -x^2 + 8x - 12 \neq 0 \implies x \neq 2, \quad x \neq 6\). שילוב שני התנאים (חיתוך קבוצות) מבטל את השוויון בקצוות תחום ההגדרה. תחום ההגדרה של הפונקציה \(g(x)\) הוא תחום פתוח: \(2 < x < 6\)

מושגים: טרנספורמציה של פונקציית הופכי

שלב 5: שלב ג.2: קביעת הגרף המתאים לפונקציה \(g(x)\)

ננתח את תכונות הפונקציה \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) כדי לבחור את הגרף הנכון מבין האפשרויות על ידי אלימינציה (פסילת אפשרויות): 1. חיוביות: מכיוון ש-\(f(x) > 0\) בכל תחום ההגדרה הפתוח שלה \(2 < x < 6\), אז גם הפונקציה ההופכית \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) חייבת להיות חיובית בלבד בכל התחום. היא אינה יכולה לקבל ערכים שליליים או להתאפס. פסילת גרף I וגרף III: גרפים אלו מציגים ערכים שליליים (מתחת לציר ה-\(x\)) ולכן נפסלים מיידית. 2. התנהגות בקצוות (אסימפטוטות): כאשר \(x \to 2^+\) או \(x \to 6^-\), ערכי הפונקציה \(f(x)\) שואפים ל-0 (מלמעלה, כלומר ערכים חיוביים קטנים מאוד). לכן, ערכי \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) ישאפו לאינסוף חיובי (\(+\infty\)). מכאן שישנן שתי אסימפטוטות אנכיות ב- \(x=2\) וב- \(x=6\). 3. נקודות קיצון: הפונקציה \(g(x) = \frac{1}{f(x)}\) מגיעה לערכה המינימלי בדיוק כאשר המכנה \(f(x)\) מגיע לערכו המקסימלי. המקסימום המוחלט של \(f(x)\) הוא בנקודה \((4, 2)\), לכן ל-\(g(x)\) תהיה נקודת מינימום מוחלט ב- \(x=4\), וערכה יהיה: \[g(4) = \frac{1}{f(4)} = \frac{1}{2} = 0.5\] שיעורי נקודת המינימום הם \((4, 0.5)\). מכיוון ש- \(0.5 > 0\), נקודת המינימום נמצאת מעל ציר ה-\(x\) ואינה נוגעת בו. פסילת גרף IV: בגרף זה נקודת המינימום משיקה לציר ה-\(x\) (כלומר ערך ה-\(y\) הוא 0), דבר שאינו נכון כפי שחישבנו. מסקנה סופית: הגרף היחיד שמקיים את כל התנאים (חיוביות, אסימפטוטות אנכיות בקצוות, ונקודת מינימום פנימית מעל ציר ה-\(x\)) הוא גרף II.

מושגים: ניתוח גרפי והתאמת גרפים