נתונה הפונקציה: \[ f(x) = x \cdot \sqrt{x + 18} \] א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה \( f(x) \). ב. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה \( f(x) \) עם הצירים. ג. מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה \( f(x) \), וקבע את סוגן. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה \( f(x) \). ה. נתונה הפונקציה \( g(x) = -2 \cdot f(x) \). (1) מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה \( g(x) \), וקבע את סוגן. (2) נסמן ב- \( A \) ו- \( B \) את נקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציות \( f(x) \) ו- \( g(x) \) בהתאמה. הנקודה \( O \) היא ראשית הצירים. חשב את שטח המשולש \( ABO \).
הטיפ של עובד: בסעיף ה' פוגשים טרנספורמציה של פונקציה. כאשר אנו כופלים פונקציה שלמה בקבוע שלילי (כמו ה-\( -2 \) שמופיע שם), מתרחשים שני דברים במקביל: שיקוף סביב ציר ה-\( x \) (שהופך כל מינימום למקסימום ולהפך) ומתיחה אנכית (שמכפילה את שיעורי ה-\( y \) של הנקודות ב-\( 2 \)). חשוב לזכור ששיעורי ה-\( x \) של נקודות הקיצון נשארים ללא כל שינוי! נצלו את זה כדי לחסוך לעצמכם גזירה מחדש.
הפונקציה מכילה שורש זוגי. לכן, עלינו לדרוש שהביטוי הנמצא תחת השורש יהיה אי-שלילי (גדול או שווה לאפס): \[ x + 18 \ge 0 \] \[ x \ge -18 \] תחום ההגדרה הוא \( x \ge -18 \).
מושגים: חקירת פונקציית מכפלה עם שורש
חיתוך עם ציר ה-\( x \) (נציב \( y = 0 \)): \[ 0 = x \cdot \sqrt{x + 18} \] מכפלה שווה לאפס כאשר לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. נבדוק את שתי האפשרויות: - אפשרות 1: \( x = 0 \) - אפשרות 2: \( \sqrt{x + 18} = 0 \Rightarrow x + 18 = 0 \Rightarrow x = -18 \) שני הפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה, לכן קיבלנו את הנקודות: \( (0,0) \) ו- \( (-18,0) \). חיתוך עם ציר ה-\( y \) (נציב \( x = 0 \)): \[ f(0) = 0 \cdot \sqrt{0 + 18} = 0 \] קיבלנו את ראשית הצירים \( (0,0) \), שכבר מצאנו קודם. נקודות החיתוך הן \( (0,0), (-18,0) \).
מושגים: חקירת פונקציית מכפלה עם שורש
נגזור את הפונקציה בעזרת כלל המכפלה וכלל הנגזרת של פונקציית שורש: \[ f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x + 18} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 18}} \] נעשה מכנה משותף \( 2\sqrt{x + 18} \) לאיברים: \[ f'(x) = \frac{2(x + 18) + x}{2\sqrt{x + 18}} = \frac{2x + 36 + x}{2\sqrt{x + 18}} = \frac{3x + 36}{2\sqrt{x + 18}} \] נשווה את הנגזרת (המונה) לאפס למציאת נקודות קיצון פנימיות: \[ 3x + 36 = 0 \] \[ 3x = -36 \] \[ x = -12 \] כדי לקבוע את סוג הקיצון ב- \( x = -12 \) נבדוק את סימן הנגזרת סביב הנקודה (נזכור שהמכנה תמיד חיובי עבור \( x > -18 \)): - נציב \( x = -15 \): הנגזרת שלילית (הפונקציה יורדת) - נציב \( x = 0 \): הנגזרת חיובית (הפונקציה עולה) מכיוון שהפונקציה עוברת מירידה לעלייה, הנקודה \( x = -12 \) היא נקודת מינימום פנימית. בנוסף, הנקודה \( x = -18 \) היא נקודת קצה, ומכיוון שהפונקציה יורדת ממנה ימינה, זוהי נקודת מקסימום קצה. נמצא את ערכי ה-\( y \) של הנקודות: \[ f(-12) = -12 \cdot \sqrt{-12 + 18} = -12\sqrt{6} \] \[ f(-18) = 0 \] תשובה סופית: מינימום \( (-12, -12\sqrt{6}) \), מקסימום קצה \( (-18, 0) \).
מושגים: חקירת פונקציית מכפלה עם שורש
נסכם את המידע שבידינו: הפונקציה מתחילה בנקודת הקצה \( (-18, 0) \), יורדת עד למינימום ב- \( (-12, -12\sqrt{6}) \), ומשם עולה דרך ראשית הצירים \( (0,0) \) וממשיכה לעלות ללא הגבלה ככל ש-\( x \) גדל.
נתונה הפונקציה \( g(x) = -2 \cdot f(x) \). ננתח את משמעות ההכפלה בקבוע \( -2 \): הכפלה של פונקציה בקבוע משפיעה על ערכי ה-\( y \) שלה בלבד. שיעורי ה-\( x \) של נקודות הקיצון לא משתנים. הסימן השלילי מבצע שיקוף סביב ציר ה-\( x \), כך שכל נקודת מינימום הופכת למקסימום ולהפך. בנוסף, המספר \( 2 \) מותח את הפונקציה פי 2 בציר האנכי, לכן כל שיעור \( y \) מוכפל ב-\( -2 \). קיצון פנימי: הנקודה \( (-12, -12\sqrt{6}) \) שהייתה מינימום, תהפוך למקסימום. שיעור ה-\( y \) החדש יהיה: \( -2 \cdot (-12\sqrt{6}) = 24\sqrt{6} \). נקבל: \( (-12, 24\sqrt{6}) \). קיצון קצה: הנקודה \( (-18, 0) \) שהייתה מקסימום, תהפוך למינימום. שיעור ה-\( y \) החדש יהיה: \( -2 \cdot 0 = 0 \). נקבל: \( (-18, 0) \).
מושגים: טרנספורמציות של פונקציות
נרכז את הנקודות הנתונות: - נקודת הקיצון הפנימית של \( f(x) \): \( A(-12, -12\sqrt{6}) \) - נקודת הקיצון הפנימית של \( g(x) \): \( B(-12, 24\sqrt{6}) \) - ראשית הצירים: \( O(0,0) \) ניתן לראות כי לשתי הנקודות \( A \) ו- \( B \) יש את אותו שיעור \( x \) בדיוק (\( -12 \)). משמעות הדבר היא שהקטע המחבר ביניהן הוא קטע אנכי המקביל לציר ה-\( y \). ניקח קטע זה כבסיס המשולש (נסמן באות \( b \)). אורכו של הבסיס הוא ההפרש בין שיעורי ה-\( y \) של הנקודות: \[ b = y_B - y_A = 24\sqrt{6} - (-12\sqrt{6}) = 36\sqrt{6} \] הגובה למשולש (נסמן ב- \( h \)) יורד מקודקוד \( O \) אל הישר האנכי שעליו מונח הבסיס (\( x = -12 \)). אורך הגובה הוא המרחק האופקי מציר ה-\( y \) לישר זה, כלומר ערכו המוחלט של שיעור ה-\( x \): \[ h = |-12 - 0| = 12 \] כעת נחשב את שטח המשולש \( ABO \): \[ S_{ABO} = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{36\sqrt{6} \cdot 12}{2} = 36\sqrt{6} \cdot 6 = 216\sqrt{6} \]
מושגים: גיאומטריה אנליטית בסיסית
התשובות הסופיות: א. \( x \ge -18 \) ב. \( (0,0), (-18,0) \) ג. מינימום פנימי: \( (-12, -12\sqrt{6}) \), מקסימום קצה: \( (-18, 0) \) ד. סקיצה של גרף הפונקציה \( f(x) \): ה. (1) מקסימום פנימי: \( (-12, 24\sqrt{6}) \), מינימום קצה: \( (-18, 0) \) ה. (2) \( 216\sqrt{6} \)
נתונה הפונקציה: f(x)=x⋅x+18 א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). ב. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. ג. מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x). ה. נתונה הפונקציה g(x)=−2⋅f(x). (1) מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגן. (2) נסמן ב- A ו- B את נקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציות f(x) ו- g(x) בהתאמה. הנקודה O היא ראשית הצירים. חשב את שטח המשולש ABO.
